2010 Выпуск № 41

В проективном пространстве рассмотрено пространство П центрированных плоскостей. В обобщенном расслоении задана нормальная аффинная связность, ассоциированная с пространством П. Поле объекта этой аффинной связности определяет объекты кручения и кривизны, которые являются тензорами, содержащими по три простейших и по два простых подтензора. Рассмотрен канонический случай нормальной обобщенной аффинной связности.

In projective space the space  of centered planes is considered. The normal affine connection, associated with the space  , is set in generalized fibering. Field of this affine connection object defines torsion and curvature objects. These objects are tensors, each of which contains three elementary and two simple subtensors. The canonical case of normal generalized affine connection is considered.

В проективном пространстве рассмотрено грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. В главном расслоении задана фундаментально-групповая связность. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует пучок связностей 1-го типа.

Grassman-like manifold of centered planes is considered in the projective space. A fundamental-group connection is given in the principal bundle. It is proved, that analog of Norden’s normalization induces bunch of connections of the 1st type.

Выясняются аналитические и геометрические признаки полей плоскостей, параллельных в нормальных связностях S-распределения [1], оснащенного в смысле Нордена — Картана [1—2] и Нордена — Бортолотти [3—5].

Analytical and geometrical signs of fields of plane parallel in normal connections of S-distributions are found out.

Приведено задание нормально s-кооснащенной гиперполосы sНm в репере 1-го порядка R1 и доказана теорема существования гиперполосы sНm. Построены поля плоскостей Нордена — Тимофеева [4] и поля геометрических объектов в дифференциальных окрестностях 2-го и 3-го порядков гиперполосы sНm.

The giving normally s-coequipped hyperstrip sНm in a frame of 1st order R1 is given and the existence theorem of hyperstrip sНm is proved. The fields of Norden — Timofeev’s planes [4] and fields of geometrical objects in differential neighborhoods of 2nd and 3rd order of hyperstrip sНm are constructed.

В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) эллиптических параболоидов. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий

In three-dimensional affine space complexes (threeparametrical families) of elliptic paraboloids are considered. It is shown that such complexes exist. Geometrical properties of researched varieties are found.

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Предложен способ задания ассоциированной с распределением обобщенной проективной связности (проективной связности Лаптева — Остиану) с помощью поля объекта связности, содержащего квазитензор связности. Доказано, что объект кривизны-кручения этой связности образует тензор, включающий тензор линейной кривизны-кручения с подтензором кручения проективной связности, который содержит тензор аффинного кручения. Показано, что полувырожденная обобщенная проективная связность без аффинного кручения характеризует полуголономность распределения. Вырождение проективной связности Лаптева — Остиану лишает ее проективного кручения и превращает в центропроективную связность. В каноническом случае проективной связности Лаптева — Остиану задание поля квазитензора связности эквивалентно нормализации 1-го рода распределения.

In many-dimensional projective space the planes distribution is considered. The way of the giving of associated with distribution of the generalised projective connection (Laptev — Ostianu’s projective connection) by means of field of connection object containing quasitensor of connection, is offered. It is proved, that the curvature- torsion object of this connection forms tensor, including tensor of linear curvature-torsion with torsion subtensors of projective connection, which contains affine torsion tensor. It is shown, that semidegenerate generalized projective connection without affine torsion characterises semiholonomicity of the distribution. The degeneration of Laptev — Ostianu’s projective connection deprives it of projective torsion and transforms it into centroprojective connection. In the canonical case of Laptev — Ostianu’s projective connection the giving the field of connection quasitensor is equivalent to normalization of the 1st type of the distribution.

На точечно-плоскостной поверхности Sh+r в n-мерном проективном пространстве в предположении существования двух относительных инвариантов строятся охваты компонент оснащающего квазитензора. Дано определение поднормализации точечно-плоскостной поверхности. Поднормализация порождается композиционным оснащением, и наоборот: доказывается, что поднормализация порождает композиционное оснащение.

On the point-plane surface Sh+r in n-dimensional projective space n P , assuming of existence of two relative invariants, the coverages of components of equipping quasitensor are constructed. The definition of subnormalization of plane-point surface is given. Subnormalization is generated by the composite equipment, and vice versa, it is proved, that subnormalization generates the composite equipment.

Построено оснащение в смысле Э. Бортолотти оснащающего М-подрасслоения Λ(П)-распределения. Найден охват, при котором оснащение Бортолотти гиперполосного распределения Λ(М) равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа H(M) .

For M-subbundles of Н(П)-distribution the equipments in E. Bortolotti’s sense are constructed.

Получено пространство конформной связности m,m C без кручения, индуцируемое касательным оснащением полем m -сфер [ ]  P многомерной поверхности m V конформного пространства n C .

We study the torsion-free space of conformal connection m m C , induced by tangential framing of the m-dimensional surface m V in the conformal space n C .

В работе рассматриваются некоторые вопросы нормализованного n-мерного проективно-метрического пространства Kn . Найдены приложения этой геометрии к изучению некоторых классов плоских сетей n  Kn .

This work deals with some issues of the normalized n-dimensional projective-metric space Kn . Applications of this geometry to studying some classes of flat networks n  Kn have been found.

В многомерном аффинном пространстве рассматриваются подклассы дифференцируемого отображения, порожденного комплексами центральных невырожденных гиперквадрик. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства конуса главных прямых, характеристических направлений и индикатрис исследуемых отображений.

In multidimensional affine space, subclasses of the differentiable mapping generated by complexes of central nondegenerate hyperquadrics are considered. It is shown, that such complexes exist. Geometrical properties of a cone of the main straight lines, characteristic directions and indicatrix of the researched mappings are found.

В работе рассматривается комплекс m(nm1) K m-мерных центрированных плоскостей в проективном пространстве n P . Показано, что его фундаментальный объект 1-го порядка состоит из двух псевдотензоров. На рассматриваемом комплексе способом Лумисте заданы: 1) обобщенная аффинная связность, 2) нормальная линейная связность, 3) обобщенная билинейная связность.

Complex of centered planes in projective space is investigated. It is shown, that its fundamental object of the 1st order is pseudotensor. On this complex the following connections are given: 1) generalized affine connection, 2) normal affine connection, 3) generalized bilinear connection.

Показано, что ковариантные дифференциалы символов Кронекера I , i , J j      I, J ,K 1,n; i, j, k 1,m;  , ,  m 1,n — тождественные нули, а ковариантное дифференцирование безындексных нулей, рассматриваемых как объекты , i i     , не имеет смысла. Использование такого дифференцирования приводит к некорректным результатам.

It is shown incorrectness of application of covariant differentiation to identically zero Kronecker symbols i   , i   i 1,m;   m 1,n.

Проанализирована основополагающая роль относительно инвариантных систем пфаффовых форм при исследовании в неканонических реперах многообразий фигур в однородных и обобщенных пространствах. Рассмотрены примеры, показывающие, что игнорирование требования относительной инвариантности приводит к принципиальным ошибкам, порождающим теории «на пустом множестве».

It is shown the principal role of relatively invariant systems of pfaffian’s forms in differential geometry. Some examples of principal mistakes by using relatively not invariant forms are given.

Описано действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров. Доказаны некоторые тождества, которым удовлетворяют операторы действия группы.

The action of complete linear group on the bundle of the tensors of the type (0,2) is described. Some identities which operators of the action group satisfy are proved.

Показано, что максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (n-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность, равна 2n–2.

It is shown that maximal dimension of Lie algebra of Abel’s group of transformations with (n1)-dimensional orbits which keeps invariant of non-linear connection is equal to 2n–2.

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Произведено внутреннее композиционное оснащение этого распределения. Доказано, что это оснащение индуцирует в главном расслоении внутренние кривизны 1-го и 2-го типов.

In many-dimensional projective space the planes distribution is considered. Internal composite clothing of the planes distribution is made. It is proved, that this clothing induces in the principal fiber bundle internal curvatures of the 1st and 2nd types.

Рассмотрено обобщение внешнего дифференциала и приведены некоторые его свойства.

Generalization of exterior differential and some its properties are considered.

Дано задание гиперполосы рНm в репере 1-го порядка, и доказана теорема существования. Построен двойственный образ гиперполосы рНm.

A hiperstrip m pH in the projective space is given and existence theorem is proved. Dual image for the hiperstrip m pH is constructed.

В настоящей статье мы возвращаемся к работе [1] одного из авторов для более подробного рассмотрения предложенной там классификации уравнений Эйнштейна.

In current paper we refer to the paper [1] of one of the authors of the present paper for more detailed investigation of Einstein equations classification that was proposed in the paper [1].

Изучаются некоторые вопросы геометрии двух двойственных эквиаффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство Kn, n>2; при этом нормализация определена внутренним образом в третьей дифференциальной окрестности.

We study questions of geometry of two dual equiaffine connections induced by the normalization of regular hypersurface immersed in a projective-metric space Kn, n  3; the normalization defined internally in a differential neighborhood of the third order.

Показано, что некорректное применение дифференциала к обобщенным символам Кронекера приводит к принципиальным ошибкам.

It is shown that incorrect using of differential to generalized Kronecker symbols reduces to principal mistakes.

В евклидовом пространстве E4 рассматриваются две гладкие 2-поверхности M,M и диффеоморфизм f : M  M . Исследуется случай, когда касательные 2-плоскости в соответствующих точках pM, f( p)M ортогональны.

Let M,M be surfaces in Euclidean space E4 with orthogonal tangent planes and the mapping f :M M . There is the mapping  :TM T M , where  X  df ( X ), X TM . Let Q be normal curvature indicatrix of the surfaces M at the point pM and Q be normal curvature indicatrix of the surfaces M at the point f ( p )M . Theorem. Let M,M be surfaces in Euclidean space E4 with orthogonal tangent planes and f : M  M be the conform mapping. Then Q is symmetric to Q with respect to p .