2021 Выпуск 52

Данная статья посвящена памяти профессора Ковальского, кото­рый был одним из ведущих исследователей в области дифференци­альной геометрии, особенно римановой и аффинной геометрии. Он внес значительный вклад в повышение уровня преподавания диффе­ренциальной геометрии путем тщательной и систематической подго­товки лекций для студентов.

Профессор Ковальский является автором или соавтором более 170 профессиональных статей во всемирно признанных журналах, двух монографий, учебников для студентов.

Профессор Ковальский сотрудничал со многими математиками из других стран (Бельгии, Италии, Японии, Румынии, России, Ма­рокко, Испании и др.).

С уходом профессора Олдржиха Ковальского математическое сообщество теряет значительную личность и исключительного кол­легу, доброго и преданного учителя, человека с высокими мораль­ными качествами.

Показано, что отличные от келеровых приближенно келеровы многообразия, классическим примером кото­рых служит шестимерная сфера, не удовлетворяют ак­сиоме квазисасакиевых гиперплоскостей.

Установлено, что эрмитова структура на 6-мерном уплощающемся подмногообразии алгебры Кэли явля­ется устойчивой в том и только том случае, когда это подмногообразие является вполне геодезическим.

Продолжается исследование грассманоподобного многообразия   * Gr m n, центрированных m -плоскостей. Рассматривается частный случай, когда центр А описывает   n m -мерную поверхность . n m S Будем обозначать данное многообразие   0 * Gr m n, . Осуществлен аналог сильной нормализации Нордена многообразия   0 * Gr m n, . Доказано, что эта нормализация индуцирует связность в расслоении, ассоциированном с многообразием   0 * Gr m n, . Дана геометрическая характеристика данной связности с помощью параллельных перенесений.

Рассматривается неголономное многообразие Кен­моцу, оснащенное связностью, являющейся аналогом обобщенной связности Танаки — Вебстера. Изучаемая связность получается из обобщенной связности Танаки — Вебстера заменой первого структурного эндомор­физма на второй структурный эндоморфизм. Получен­ная связ­ность также получает в работе название обоб­щенной связ­ности Танаки — Вебстера. В отличие от многообразия Кенмоцу структурная форма неголономного многообразия Кенмоцу не за­мкнута. Следствием этого единственного различия яв­ляется значительное расхождение в свойствах таких многообразий. Так, например, в работе доказывается, что альтернация тензора Риччи — Схоутена неголо­номного многообразия Кенмоцу, являющегося транс­версальным аналогом тензора Риччи, пропорциональна внешнему дифференциалу структурной формы. В то же время в классическом случае многообразия Кенмоцу тензор Риччи — Схоутена является симметрическим тензором. Доказывается, что связность Танаки — Вебстера является метрической связностью. Доказывается также, что из того, что альтернация тензора Риччи — Схоуте­на пропорциональна внешнему дифференциалу струк­турной формы, выполняется следующее утверждение: если неголономное многообразие Кенмоцу есть много­образие Эйнштейна относительно обобщенной связно­сти Танаки — Вебстера, то оно риччи-плоское относи­тельно этой же связности.

В многомерном проективном пространстве рас­сматривается расслоение над семейством пар плоско­стей, одна из которых является гиперплоскостью в дру­гой. Доказано, что композиционное оснащение семей­ства индуцирует фундаментально-групповые связности двух типов в рассматриваемом расслоении.

Вводится понятие почти квазисасакиева многообра­зия. Многообразие с почти квазисасакиевой структурой является обобщением квазисасакиева многообразия и от­личается от него тем, что оно почти нормально. Сфор­мулирован характеристический признак почти ква­зисасакиева многообразия. Найдены условия, при ко­торых почти квазисасакиевы многообразия являются ква­зисасакиевыми многообразиями, в частности тогда и толь­ко тогда, когда первый и второй структурные эн­до­мор­физмы коммутируют. На распределении почти кон­такт­ного метрического многообразия определяется про­дол­женная почти контактная метрическая структу­ра. Из оп­ределения продолженной структуры следует, что она яв­ляется квазисасакиевой структурой лишь то­гда, когда исходная структура является косимплектиче­ской с ну­левым тензором кривизны Схоутена. Доказы­вается, что построенная продолженная почти контакт­ная метриче­ская структура является структурой почти квазисасаки­ева многообразия тогда и только тогда, ко­гда тензор Схоутена исходного многообразия равен ну­лю. Находят­ся соотношения между вторыми структур­ными эндо­морфизмами исходной и продолженной структур.

Продолжается исследование в трехмерном аффин­ном пространстве комплексов (трехпараметрических семейств) эллипсоидов, рассмотренных ранее в ряде работ автора. Изучается многообразие эллипсоидов, ко­гда концы координатных векторов совпадают с фо­кальными точками, а первая координатная прямая опи­сывает цилиндрическую поверхность, при этом на об­разующем элементе имеются по крайней мере три фо­кальные точки, не лежащие на одной прямой и на од­ной плоскости, проходящей через центр, и определяю­щие три сопряженных направления. Из указанного многообразия выделяется комплекс эллипсоидов при условии, когда индикатрисы второго и третьего коор­динатных векторов будут описывать поверхности с ка­сательными плоскостями, параллельными третьей ко­ординатной плоскости, а конец второго координатного вектора описывает линию с касательной, параллельной первому координатному вектору. Доказана теорема су­ще­ствования исследуемого многообразия. Найдены гео­метрические свойства рассматриваемого комплекса.

Доказано, что конец первого координатного векто­ра, точки первой координатной прямой, а также первой координатной плоскости описывают двупараметриче­ское семейство плоскостей, конец третьего координат­ного вектора описывает двупараметрическое семейство цилиндрических плоскостей, точка третьей координат­ной плоскости описывает однопараметрическое семей­ст­во линий с касательными, параллельными первому ко­ординатному вектору.

Характеристическое многообразие образующего эле­мента состоит из шести точек: вершины репера, трех кон­цов координатных векторов и двух концов: суммы пер­вого и второго координатных векторов, а также сум­мы первого и третьего координатных векторов. Фокаль­ное многообразие эллипсоида, пробегающего исследуе­мый комплекс, состоит только из трех точек, являю­щих­ся концами координатных векторов.

Основой данного исследования аффинных связно­стей в расслоении линейных реперов над гладким мно­гообразием являются структурные уравнения этого рас­слоения. В данном расслоении способом Лаптева — Лу­мисте задана аффинная связность. Найдены диффе­ренциальные уравнения на компоненты тензора дефор­мации от произвольной аффинной связности к канони­ческой связности. Найдены выражения на компоненты тензора кручения в случае двумерного и трехмерного многообразий. Для двумерного многообразия кручение представляет собой дробь, числителем которой являет­ся линейная комбинация двух слоевых координат с ко­эффициентами — двумя функциями, зависящими от ба­зисных координат, а знаменателем — определитель, со­ставленный из слоевых координат. Для трехмерного мно­гообразия произвольность числителя определяется де­вя­тью функциями, зависящими от базисных коорди­нат.

Дано задание в репере 1-го порядка касательно r-ос­на­щенной гиперполосы проективного пространства. Для простоты изложения адаптируем репер по­лю нор­ма­лей 1-го рода. Вводится в рассмотрение тен­зор него­ло­номности поля оснащающих L-плоско­стей. Обраще­ние тензора неголономности в нуль приводит к трем раз­личным интерпретациям гиперполосы. Рассматрива­ют­ся фокальные образы, ассоциированные с гиперпо­ло­сой, с помощью которых построена плоскость Нордена — Ти­мофеева указанной гиперполосы.

В заключение рассматриваются p-структуры поля ка­сательных плоскостей базисной поверхности гиперпо­лосы.

2n-мерное дифференцируемое многообразие М с -структурой называется римановым паракомп­лекс­ным многообразием. В статье изучаются конформные преобразова­ния метрик паракомплексных многообразий. В частности, доказыва­ется с помощью техники Бохнера ряд теорем исчезновения для таких преобразований.

В работе исследуется система линейных уравнений, задающих алгебру Ли дифференцирований DerA произ­вольной конечномерной линейной алгебры A над по­лем. Получена система уравнений, которой удовлетво­ряют компоненты произвольного дифференцирования относительно фиксированного базиса алгебры A. Эта система является системой линейных однородных уравнений. Доказан закон преобразования матрицы этой системы. Доказана инвариантность ранга матрицы системы при переходе к новому базису в алгебре A. Да­лее рассматривается возможность применения полу­ченных результатов в дифференциальной геометрии при оценки сверху размерностей групп аффинных пре­образований. В качестве примера приведен разработан­ный И. П. Егоровым метод исследования размерностей алгебр Ли аффинных векторных полей на гладких мно­гообразиях, снабженных линейными связностями, имеющими ненулевые тензорные поля кручения.

В настоящей работе получена точная оценка сверху раз­мерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффин­ных преобразований в касательных расслоениях перво­го по­ряд­ка, снабженных синектическими связностями А. П. Ши­рокова.

Работа посвящена изучению деформации односто­рон­них поверхностей, к которым относятся скрещен­ный колпак, рим­ская поверхность, бутылка Клейна. Пер­вые две являются мо­делями проективной плоско­сти.

Доказано, что если поверхность представляет собой мо­дель либо листа Мёбиуса, либо бутылки Клейна, ли­бо проек­тивной плоскости, то деформация поверхности будет моделью листа Мёбиуса, бутылки Клейна или проективной плоскости соответственно.

С использованием математического пакета построе­ны гра­фики рассматриваемых поверхностей.