Алгебры Ли дифференцирований линейных алгебр над полем
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2021-52-12
- Страницы / Pages
- 123-136
Аннотация
В работе исследуется система линейных уравнений, задающих алгебру Ли дифференцирований DerA произвольной конечномерной линейной алгебры A над полем. Получена система уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного дифференцирования относительно фиксированного базиса алгебры A. Эта система является системой линейных однородных уравнений. Доказан закон преобразования матрицы этой системы. Доказана инвариантность ранга матрицы системы при переходе к новому базису в алгебре A. Далее рассматривается возможность применения полученных результатов в дифференциальной геометрии при оценки сверху размерностей групп аффинных преобразований. В качестве примера приведен разработанный И. П. Егоровым метод исследования размерностей алгебр Ли аффинных векторных полей на гладких многообразиях, снабженных линейными связностями, имеющими ненулевые тензорные поля кручения.
Abstract
In this paper, we study a system of linear equations that define the Lie algebra of differentiations DerA of an arbitrary finite-dimensional linear algebra over a field. A system of equations is obtained, which is satisfied by the components of an arbitrary differentiation with respect to a fixed basis of algebra A. This system is a system of linear homogeneous equations. The law of transformation of the matrix of this system is proved. The invariance of the rank of the matrix of this system in the transition to a new basis in algebra is proved. Next, we consider the possibility of applying the obtained results in differential geometry when estimating the dimensions of groups of affine transformations from above. As an example, the method of I. P. Egorov is given for studying the dimensions of Lie algebras of affine vector fields on smooth manifolds equipped with linear connections having non-zero torsion tensor fields.
Список литературы
1. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами : учеб. пособие. Казань, 1985.
2. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Учен. записки Пенз. пед. ин-та им. В. Г. Белинского. Казань, 1965. С. 5—179.
3. Картан Э., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., 1960.
4. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / пер. с англ. М., 1986.
5. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., 1970.
6. Yano K. The theory of Lie derivaruves and its applications. Amsterdam, 1957.