Комплексы эллипсоидов с индикатрисами координатных векторов в виде поверхностей
Аннотация
Продолжается исследование в трехмерном аффинном пространстве комплексов (трехпараметрических семейств) эллипсоидов, рассмотренных ранее в ряде работ автора. Изучается многообразие эллипсоидов, когда концы координатных векторов совпадают с фокальными точками, а первая координатная прямая описывает цилиндрическую поверхность, при этом на образующем элементе имеются по крайней мере три фокальные точки, не лежащие на одной прямой и на одной плоскости, проходящей через центр, и определяющие три сопряженных направления. Из указанного многообразия выделяется комплекс эллипсоидов при условии, когда индикатрисы второго и третьего координатных векторов будут описывать поверхности с касательными плоскостями, параллельными третьей координатной плоскости, а конец второго координатного вектора описывает линию с касательной, параллельной первому координатному вектору. Доказана теорема существования исследуемого многообразия. Найдены геометрические свойства рассматриваемого комплекса.
Доказано, что конец первого координатного вектора, точки первой координатной прямой, а также первой координатной плоскости описывают двупараметрическое семейство плоскостей, конец третьего координатного вектора описывает двупараметрическое семейство цилиндрических плоскостей, точка третьей координатной плоскости описывает однопараметрическое семейство линий с касательными, параллельными первому координатному вектору.
Характеристическое многообразие образующего элемента состоит из шести точек: вершины репера, трех концов координатных векторов и двух концов: суммы первого и второго координатных векторов, а также суммы первого и третьего координатных векторов. Фокальное многообразие эллипсоида, пробегающего исследуемый комплекс, состоит только из трех точек, являющихся концами координатных векторов.
Список литературы
1. Кретов М. В. Комплексы эллипсоидов в аффинном пространстве // ДГМФ. Калининград, 1979. Вып. 10. С. 41—47.
2. Кретов М. В. О комплексах центральных квадрик в аффинном пространстве // ДГМФ. Калининград, 1980. Вып. 11. С. 51—60.
3. Кретов М. В. О трехпараметрическом семействе квадрик в аффинном пространстве // Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 10. С. 95—98.
4. Кретов М. В. Трехпараметрическое семейство эллипсоидов, допускающее конструирование // Вестник БФУ им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 68—71.
5. Кретов М. В. О полях геометрических объектов, связанных с комплексом центральных невырожденных гиперквадрик // Вестник БФУ им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 76—80.
6. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Вып. 6. С. 113—133.
7. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
8. Малаховский В. С. Краткий курс дифференциальной геометрии. Калининград, 2010.