О тензоре кручения аффинной связности на двумерном и трехмерном многообразиях
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2021-52-9
- Страницы / Pages
- 83-96
Аннотация
Основой данного исследования аффинных связностей в расслоении линейных реперов над гладким многообразием являются структурные уравнения этого расслоения. В данном расслоении способом Лаптева — Лумисте задана аффинная связность. Найдены дифференциальные уравнения на компоненты тензора деформации от произвольной аффинной связности к канонической связности. Найдены выражения на компоненты тензора кручения в случае двумерного и трехмерного многообразий. Для двумерного многообразия кручение представляет собой дробь, числителем которой является линейная комбинация двух слоевых координат с коэффициентами — двумя функциями, зависящими от базисных координат, а знаменателем — определитель, составленный из слоевых координат. Для трехмерного многообразия произвольность числителя определяется девятью функциями, зависящими от базисных координат.
Abstract
The basis for this study of affine connections in linear frame bundle over a smooth manifold is the structure equations of the bundle. An affine connection is given in this bundle by the Laptev — Lumiste method. The differential equations are written for components of the deformation tensor from an affine connection to the symmetrical canonical one. The expressions for the components of the torsion tensor for two-dimensional and three-dimensional manifolds were found. For a two-dimensional manifold, the affine torsion is a fraction, in the numerator there is a linear combination of two fiber coordinates which coefficients are two functions depending on the base coordinates (the coordinates on the base), and in the denominator there is the determinant composed of the fiber coordinates (the coordinates in a fiber). For a three-dimensional manifold, the arbitrariness of the numerator is determined by nine functions depending on the base coordinates.
Список литературы
1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Сер. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—246.
3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
4. Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // ДГМФ. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 114—128.
5. Полякова К. В. Тангенциальнозначные формы 2-го порядка // Матем. заметки. 2019. Т. 105, № 1. С. 84—94.
6. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, № 2. С. 279—290.
7. Рыбников А. К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Математика. 1983. № 1. С. 73—80.
8. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // ДГМФ. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
9. Belova O. O. Generalized affine connections associated with the space of centered planes // Mathematics. 2021. Vol. 9, № 7. doi: https:// doi.org/10.3390/math9070782.