Дано подробное изложение конструкции канонической формы на расслоении реперов произвольного порядка над гладким многообразием. В частности, показана корректность построения одного изоморфизма векторных пространств, играющего ключевую роль в данной конструкции, а также описано действие этого изоморфизма.
Исследуются инфинитезимальные преобразования касательного расслоения общего пространства путей. Общее пространство путей является обобщением пространства аффинной связности. По аффинной связности общего пространства путей построена аффинная связность на касательном расслоении. Для инфинитезимального преобразования касательного расслоения составлена система уравнений инвариантности построенной аффинной связности. Эта система является системой дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонентов инфинитезимального преобразования. Основные результаты статьи получены посредством анализа этой системы с учетом свойств однородных функций. Показано, что полный лифт инфинитезимального преобразования базы является инфинитезимальным аффинным движением касательного расслоения тогда и только тогда, когда инфинитезимальное преобразование базы является аффинным движением в общем пространстве путей. Найдены необходимые и достаточные условия того, что инфинитезимальное преобразование касательного расслоения, порожденное вертикальным векторным полем, оставляет инвариантной аффинную связность касательного расслоения. Приводятся условия, которые являются также необходимыми и достаточными, чтобы сохраняющее слои инфинитезимальное преобразование касательного расслоения с аффинной связностью являлось аффинным движением.
Изучается многообразие, структурные уравнения и деривационные формулы которого построены с помощью деформаций внешнего и обычного дифференциалов. Рассмотрены расслоения несимметричных кореперов и реперов 2-го порядка на этом многообразии и задана аффинная связность. Доказано, что кривизна и кручение этой связности не являются тензорами. Построена каноническая связность и показано, что она является плоской и несимметричной.
В статье рассматривается ортогональное расщепление пространства известных ТТ-тензоров на римановых многообразиях. Тензоры первого подпространства принадлежат ядру лапласиана Бургиньона, а тензоры второго подпространства принадлежат ядру лапласиана Сэмпсона. Приводятся примеры и доказываются теоремы Лиувилля о несуществовании этих тензоров.
Линейные алгебры над заданным полем возникают при изучении различных задач алгебры, анализа и геометрии. Операция дифференцирования, возникшая в математическом анализе, была перенесена в теорию линейных алгебр над полем, а также в теорию колец.
Множество всех дифференцирований линейной алгебры сами образуют линейную алгебру. Эта алгебра называется алгеброй дифференцирований. При этом она допускает структуру алгебры Ли. Если алгебра, дифференцирования которой рассмотрены, является конечномерной, то ее алгебра Ли дифференцирований будет также конечномерной. Поэтому возникает естественная задача определения размерности алгебр Ли дифференцирований рассматриваемой линейной алгебры или оценки сверху размерности алгебры дифференцирований.
Для решения этих задач в работе получена система линейных однородных уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного дифференцирования. Оценка ранга этой системы позволяет получить оценку снизу ранга матрицы рассматриваемой системы. Получена оценка размерности сверху алгебр Ли дифференцирований произвольной конечномерной линейной алгебры, обладающей главной единицей над произвольным полем, характеристика которого отлична от двух. Доказана точность полученной оценки путем построения линейной алгебры, алгебра Ли дифференцирований которой реализует максимальную размерность алгебры дифференцирований данной алгебры.
В работе исследуются автоморфизмы алгебр плюральных чисел, которые являются обобщением алгебры дуальных чисел. Алгебры плюральных чисел оказались в центре внимания профессора Казанского университета А. П. Широкова. Занимаясь геометрией касательных расслоений высших порядков, он установил, что касательные расслоения высших порядков над гладкими многообразиями несут структуру гладкого многообразия над алгебрами плюральных чисел. Это позволило ему в 1970-е годы построить теорию лифтов тензорных полей и линейных связностей с гладкого многообразия в его касательные расслоения произвольного порядка.
Изучаются автоморфизмы алгебры плюральных чисел. Доказано, что множество всех автоморфизмов алгебры плюральных чисел образует группу. Описано строение этой группы. В качестве примеров указаны группы автоморфизмов алгебры плюральных чисел, имеющих небольшую размерность.
Исследуется преобразование Бианки для поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Поверхностями вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны являются волчок Миндинга, катушка Миндинга, псевдосфера (поверхность Бельтрами). Также к поверхностям постоянной отрицательной гауссовой кривизны относятся поверхность Куэна и поверхность Дини. Изучение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосферических поверхностей) имеет большое значение для интерпретаций планиметрии Лобачевского. Известна связь геометрических характеристик псевдосферических поверхностей с теорией сетей, теорией солитонов, нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями синус-Гордона. Преобразования Бианки позволяют получить по данной псевдосферической поверхности новые псевдосферические поверхности.
С использованием математического пакета построены псевдосфера и ее преобразования Бианки.
Рассмотрены главные расслоения кореперов 1-го и 2-го порядков, а также фактор-расслоение центропроективных (коаффинных) кореперов. В расслоении линейных кореперов задана связность с помощью поля объекта связности. Определены тензоры кручения и кривизны этой линейной связности. Выделены особые связности: без кручения, без кривизны. Пространство линейной связности, лишенное кручения и кривизны, представляет собой аффинную группу, что послужило основанием для классического названия «аффинная связность».
При специализациях многообразия введены сильное и слабое условия проективности, позволяющие выделить соответствующие расслоения кореперов. Связности в этих главных расслоениях названы сильной и слабой проективными связностями.
В случае симметрической линейной связности, когда отсутствует кручение, рассмотрен объект классической проективной связности. Введены формы этой связности и найдены их структурные уравнения. Отсюда следует, что классическая проективная связность не является ни фундаментально-групповой, ни линейной дифференциально-геометрической. Доказано, что объект кривизны этой связности образует квазитензор лишь в совокупности с объектом связности. Показано, что классическая проективная связность вырождается в отличную от исходной линейную связность на образе сечения некоторого однородного расслоения.