Линейные и проективные связности над гладким многообразием
Аннотация
Рассмотрены главные расслоения кореперов 1-го и 2-го порядков, а также фактор-расслоение центропроективных (коаффинных) кореперов. В расслоении линейных кореперов задана связность с помощью поля объекта связности. Определены тензоры кручения и кривизны этой линейной связности. Выделены особые связности: без кручения, без кривизны. Пространство линейной связности, лишенное кручения и кривизны, представляет собой аффинную группу, что послужило основанием для классического названия «аффинная связность».
При специализациях многообразия введены сильное и слабое условия проективности, позволяющие выделить соответствующие расслоения кореперов. Связности в этих главных расслоениях названы сильной и слабой проективными связностями.
В случае симметрической линейной связности, когда отсутствует кручение, рассмотрен объект классической проективной связности. Введены формы этой связности и найдены их структурные уравнения. Отсюда следует, что классическая проективная связность не является ни фундаментально-групповой, ни линейной дифференциально-геометрической. Доказано, что объект кривизны этой связности образует квазитензор лишь в совокупности с объектом связности. Показано, что классическая проективная связность вырождается в отличную от исходной линейную связность на образе сечения некоторого однородного расслоения.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды 3-го Всесоюз. матем. съезда / АН СССР. М., 1958. Т. 3. С. 409—418.
2. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 139—189.
3. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Труды 4-го Всесоюз. матем. съезда. 1961. Т. 2. Л., 1964. С. 226—233.
4. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. 2-е изд. М., 1976.
6. Veblen O. Generalized projective geometry // J. Lond. Math. Soc. 1929. Vol. 4. P. 140—160.
7. Гордеева И. А. Шесть классов несимметрических метрических связностей // ДГМФ. 2007. Вып. 38. С. 33—38.
8. Шевченко Ю. И., Вялова А. В. Метрики пространства с линейной связностью, не являющейся полусимметрической // ДГМФ. 2022. Вып. 53. С. 148—160.
9. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. М. ; Л., 1950. Вып. 8. С. 11—72.
10. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // ДГМФ. 2015. Вып. 46. С. 168—177.