2023 Выпуск 54(2)

Дано подробное изложение конструкции канониче­ской формы на расслоении реперов произвольного по­рядка над гладким многообразием. В частности, пока­за­на корректность построения одного изоморфизма век­торных пространств, играющего ключевую роль в дан­ной конструкции, а также описано действие этого изо­мор­физма.

The detailed description of the construction of the canonical form on the higher order frame bundle over an n-dimensional smooth manifold is given. In particular, it is shown that some vector space isomorphism play­ing the key role in this construction is defined correctly, i. e. it depends only on the frame of order p + 1 and does not depend on the choice of its representative, i. e. a local diffeomorphism which (p + 1)-jet is exactly this frame. This isomorphism acts from the direct sum of n-dimensional arithmetic space and the Lie algebra of the p-th order differential group to the tangent space to the p-th order frame bundle over the manifold at the p-th order frame lying “below”. The action of this isomorphism can be splitted into two its restrictions. The first one acts from the first direct sum­mand, and the second one acts from the second direct summand. It is shown that the first restriction depends only on the choice of the (p + 1)-fra­me, while the second one is closely related to fundamental vector fields and therefore does not depend of this frame at all.

Исследуются инфинитезимальные преобразования касательного расслоения общего пространства путей. Общее пространство путей является обобщением про­странства аффинной связности. По аффинной связности общего пространства путей построена аффинная связ­ность на касательном расслоении. Для инфинитези­маль­ного преобразования касательного расслоения со­ставлена система уравнений инвариантности построен­ной аффинной связности. Эта система является систе­мой дифференциальных уравнений второго порядка от­носительно компонентов инфинитезимального преоб­разования. Основные результаты статьи получены по­средством анализа этой системы с учетом свойств од­но­родных функций. Показано, что полный лифт инфи­ни­те­зимального преобразования базы является инфини­те­зи­мальным аффинным движением касательного рас­сло­ения тогда и только тогда, когда инфинитезималь­ное преобразование базы является аффинным движени­ем в об­щем пространстве путей. Найдены необходимые и дос­таточные условия того, что инфинитезимальное пре­об­разование касательного расслоения, порожденное вер­тикальным векторным полем, оставляет инвариант­ной аффинную связность касательного расслоения. При­водятся условия, которые являются также необхо­ди­мы­ми и достаточными, чтобы сохраняющее слои ин­фини­тезимальное преобразование касательного рассло­ения с аффинной связностью являлось аффинным дви­жением.

Изучается многообразие, структурные уравнения и де­ривационные формулы которого построены с помо­щью деформаций внешнего и обычного дифференциа­лов. Рассмотрены расслоения несимметричных корепе­ров и реперов 2-го порядка на этом многообразии и за­дана аффинная связность. Доказано, что кривизна и кру­чение этой связности не являются тензорами. По­стро­ена каноническая связность и показано, что она яв­ляется плоской и несимметричной.

This paper relates to differential geometry, and the research technique is based on G. F. Laptev’s method of extensions and envelopments, which generalizes E. Cartan's method of moving frame and exterior forms. A manifold is studied, the structure equations and derivational for­mu­las of which are built using the deformations of the exterior and ordinary differentials. The manifold in question is a deformation of an ordinary smooth manifold. The bundles of non-symmetrical coframes and frames of the second order on this manifold are examined and an affine con­nec­tion is given. It is proved that the curvature and torsion of this connection are not tensors. A canonical connection is built. It is shown that the cano­ni­cal connectionis flat and non-symmetrical.

В статье рассматривается ортогональное расщепление простран­ства известных ТТ-тензоров на римановых многообразиях. Тензоры первого подпространства принадлежат ядру лапласиана Бургиньона, а тензоры второго подпространства принадлежат ядру лапласиана Сэмп­сона. Приводятся примеры и доказываются теоремы Лиувилля о несуществовании этих тензоров.

In the present paper we consider pointwise orthogonal split­ting of the space of well-known TT-tensors on Rieman­nian manifolds. Tensors of the first subspace belong to the ker­nel of the Bourguignon Laplacian, and the tensors of the se­cond subspace belong to the kernel of the Sampson Lap­la­cian. We give examples and prove Liouville-type non-exis­tence theorems of these tensors.

Линейные алгебры над заданным полем возникают при изучении различных задач алгебры, анализа и гео­мет­рии. Операция дифференцирования, возникшая в ма­тематическом анализе, была перенесена в теорию ли­ней­ных алгебр над полем, а также в теорию колец.

Множество всех дифференцирований линейной ал­гебры сами образуют линейную алгебру. Эта алгебра на­зывается алгеброй дифференцирований. При этом она допускает структуру алгебры Ли. Если алгебра, диф­ференцирования которой рассмотрены, является конеч­но­мерной, то ее алгебра Ли дифференцирований будет также конечномерной. Поэтому возникает есте­ственная задача определения размерности алгебр Ли дифференци­рований рассматриваемой линейной алгеб­ры или оцен­ки сверху размерности алгебры дифферен­цирова­ний.

Для решения этих задач в работе получена система линейных однородных уравнений, которой удовлетво­ряют компоненты произвольного дифференцирования. Оценка ранга этой системы позволяет получить оценку снизу ранга матрицы рассматриваемой системы. Полу­чена оценка размерности сверху алгебр Ли дифферен­цирований произвольной конечномерной линейной ал­гебры, обладающей главной единицей над произволь­ным полем, характеристика которого отлична от двух. Доказана точность полученной оценки путем построе­ния линейной алгебры, алгебра Ли дифференцирований которой реализует максимальную размерность алгебры дифференцирований данной алгебры.

Linear algebras over a given field arise when studying various problems of algebra, analysis and geometry. The operation of differentiation, which originated in mathematical analysis, was transferred to the theory of linear algebras over a field, as well as to the theory of rings. The set of all differentiations of a linear algebra themselves form a linear algebra. This algebra is called the algebra of differentiations. At the same time, this algebra admits the structure of a Lie algebra. If the algebra whose differentiations are considered is finite-dimensional, then its Lie algebra of differentiations will also be finite-dimensional. Therefore, the­re is a natural problem of determining the dimension of the Lie algebras of the differentiations of the linear algebra under consideration or to obtain an estimate from above of the dimension of the algebra of differentiations. To solve these problems, a system of linear homogeneous equations is obtained, which is satisfied by the components of arbitrary differen­tia­tion. Evaluation of the rank of this system allows us to obtain an estimate from below of the rank of the matrix under consideration.

В работе исследуются автоморфизмы алгебр плю­ральных чисел, которые являются обобщением алгебры дуальных чисел. Алгебры плюральных чисел оказались в центре внимания профессора Казанского университе­та А. П. Широкова. Занимаясь геометрией касательных расслоений высших порядков, он установил, что каса­тельные расслоения высших порядков над гладкими многообразиями несут структуру гладкого многообра­зия над алгебрами плюральных чисел. Это позволило ему в 1970-е годы построить теорию лифтов тензорных полей и линейных связностей с гладкого многообразия в его касательные расслоения произвольного порядка.

Изучаются автоморфизмы алгебры плюральных чи­сел. Доказано, что множество всех автоморфизмов ал­гебры плюральных чисел образует группу. Описано строение этой группы. В качестве примеров указаны группы автоморфизмов алгебры плюральных чисел, имеющих небольшую размерность.

The algebra of dual numbers was first introduced by V. K. Clifford in 1873. The algebras of plural and dual numbers are analogous to the algebra of complex numbers. Dual numbers form an algebra, but not a field, because only dual numbers with a real part not equal to zero have an inverse element. In this work, automorphisms of algebras of plural numbers, which are a generalization of the algebra of dual numbers, are studied. Algebras of plural numbers were in the center of attention of the professor of Kazan University A. P. Shirokov. Studying the geometry of higher-order tangent bundles, he established that higher-order tangent bundles over smooth manifolds have the structure of a smooth manifold over algebras of plural numbers. This allowed him in the 70s of the twentieth century to construct a theory of lifts of tensor fields and linear connections from a smooth manifold to its tangent bundles of arbitrary order. In this paper, we study automorphisms of the algebra of plural numbers. It is proved that the set of all automorphisms of the algebra of plural numbers forms a group. The structure of this group is described. The groups of automorphisms of the algebra of plural numbers with small dimension are indicated as examples.

Исследуется преобразование Бианки для поверхно­стей постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Поверхностями вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны являются волчок Миндинга, ка­тушка Миндинга, псевдосфера (поверхность Бельтра­ми). Также к поверхностям  постоянной отрицательной гауссовой кривизны относятся поверхность Куэна и по­верхность Дини. Изучение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосфериче­ских поверхностей) имеет большое значение для ин­терпретаций планиметрии Лобачевского. Известна связь геометрических характеристик псевдосфериче­ских поверхностей с теорией сетей, теорией солитонов, нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями синус-Гордона. Преобразования Бианки позволяют получить по данной псевдосферической по­верхности новые псевдосферические поверхности.

С использованием математического пакета постро­ены псевдосфера и ее преобразования Бианки.

The work is devoted to the study of the Bianchi transform for surfa­ces of constant negative Gaussian curvature. The surfaces of rotation of cons­tant negative Gaussian curvature are the Minding top, the Minding coil, the pseudosphere (Beltrami surface). Surfaces of constant negative Gaus­sian curvature also include Kuens surface and the Dinis surface. The study of surfaces of constant negative Gaussian curvature (pseudosphe­ri­cal surfaces) is of great importance for the interpretation of Lobachevsky planimetry. The connection of the geometric characteristics of pseudos­phe­rical surfaces with the theory of networks, with the theory of solitons, with nonlinear differential equations and sin-Gordon equations is estab­li­shed. The sin-Gordon equation plays an important role in modern physics. Bianchi transformations make it possible to obtain new pseudospherical surfaces from a given pseudospherical surface. The Bianchi transform for the pseudosphere is constructed. Using a mathematical package, the pseu­dos­phere and its Bianchi transform are constructed.

Рассмотрены главные расслоения кореперов 1-го и 2-го порядков, а также фактор-расслоение центропро­ек­тивных (коаффинных) кореперов. В расслоении ли­ней­ных кореперов задана связность с помощью поля объ­ек­та связности. Определены тензоры кручения и кри­виз­ны этой линейной связности. Выделены особые связ­ности: без кручения, без кривизны. Пространство ли­нейной связности, лишенное кручения и кривизны, представляет собой аффинную группу, что послужило основанием для классического названия «аффинная связ­ность».

При специализациях многообразия введены силь­ное и слабое условия проективности, позволяющие вы­делить соответствующие расслоения кореперов. Связ­ности в этих главных расслоениях названы сильной и слабой проективными связностями.

В случае симметрической линейной связности, ко­гда отсутствует кручение, рассмотрен объект классиче­ской проективной связности. Введены формы этой связности и найдены их структурные уравнения. Отсю­да следует, что классическая проективная связность не яв­ляется ни фундаментально-групповой, ни линейной диф­ференциально-геометрической. Доказано, что объ­ект кривизны этой связности образует квазитензор лишь в со­вокупности с объектом связности. Показано, что клас­сическая проективная связность вырождается в отлич­ную от исходной  линейную связность на образе сече­ния некоторого однородного расслоения.

The principal bundles of the first order coframes and the second order coframes, as well as factor bundle of centroprojective (coaffine) coframes are considered. In the bundle of linear coframes a connection is given with the help of the field of connection object. The torsion and curvature tensors of this linear connection are determined. Special connections are singled out: torsion-free, curvature-free. The space of a linear connection devoid of torsion and curvature is an affine group, that served as the basis for classical name «affine connection».Under the specializations of a manifold, strong and weak projectivity conditions was introduced, which make it possible to single out the cof­ra­me bundles. The connections in these principal bundles are called strong and weak projective connections. In the case of symmetric linear connection, when the torsion is absent, the object of classic projective connection is considered. Connec­tion forms are introduced and their structure equations are found. Hence it follows that classic projective connection is neither fundamental-group nor linear differential-geometric. It is proved, that the curvature object of this connection forms a quasitensor together with the connection object only. It is shown, that classic projective connection degenerates into diffe­rent from the original linear connection on the image of a section of some homogeneous bundle.