Рассматривается вопрос о так называемых аксиомах почти контактных метрических гиперповерхностей для почти эрмитовых многообразий, то есть об условиях, при которых через каждую точку почти эрмитова многообразия проходит почти контактная метрическая гиперповерхность с заданными свойствами.
Доказано, что обращение в нуль пятого и шестого структурных тензоров (в терминологии Кириченко) произвольной почти контактной метрической структуры является условием, необходимым и достаточным для замкнутости контактной формы этой структуры.
В аффинном пространстве рассматривается гиперполосное распределение, которое в каждой точке базисной поверхности оснащено касательной плоскостью и сопряженной касательной прямой. Приведены задание изучаемого гиперполосного распределения в аффинном пространстве относительно репера 1-го порядка и теорема существования. Построены поля аффинных нормалей 1-го рода Бляшке и Трансона и найдены условия их совпадения. Приведено задание нормальной аффинной и нормальной центроаффинной связностей на изучаемом оснащенном гиперполосном распределении.
Произведен подробный вывод выражений для скалярных компонент канонической формы на расслоениях реперов высших порядков над гладким многообразием. Каноническая форма на расслоении реперов порядка p + 1 над n-мерным гладким многообразием является векторнозначной дифференциальной 1-формой, принимающей значения в касательном пространстве к расслоению реперов порядка p над n-мерным арифметическим пространством, в единице дифференциальной группы. Ее скалярные компоненты являются дифференциальными 1-формами и представляют собой коэффициенты ее разложения по натуральному базису данного касательного пространства. Поскольку каждый репер представляется некоторым полиномиальным отображением в заданной локальной карте на гладком многообразии, то касательный вектор к расслоению реперов представляется разложением однопараметрического семейства полиномиальных отображений по формуле Маклорена первого порядка относительно параметра. Искомые формулы получаются приравниванием коэффициентов двух разложений для одного и того же касательного вектора.
Понятие общего пространства путей ввел Дж. Дуглас. Аффинные и проективные движения в этих пространствах первым начал рассматривать М. С. Кнебельман. Общее пространство путей является обобщением пространства аффинной связности. В статье исследуются пространства путей, допускающие группы аффинных движений с одномерными орбитами. Для каждого представления абелевой алгебры Ли и алгебры Lr, содержащей абелев идеал Lr-1, в виде алгебры векторных полей составляется система уравнений инфинитезимальных аффинных движений. Векторные поля каждого из этих представлений являются операторами группы преобразований с одномерными орбитами. Путем интегрирования системы определяются общие пространства путей, допускающие группу аффинных движений с одномерными орбитами, операторами которой являются векторные поля этих представлений. Установлен максимальный порядок этих групп. Показано, что пространства путей, допускающие группу аффинных движений с одномерными орбитами максимального порядка, являются проективно плоскими. Приводятся условия, необходимые и достаточные для того, чтобы пространство путей допускало группу аффинных движений с одномерными орбитами максимального порядка.
В известном списке восьми трехмерных геометрий Тёрстона находится геометрия многообразия Sol. Многобразие Sol — связная односвязная группа Ли вещественных матриц специального вида. На многообразии Sol имеется левоинвариантная псевдориманова метрика, для которой группа левых сдвигов является максимальной просто-транзитивной группой изометрии. В настоящей работе доказано, что на многообразии Sol существует левоинвариантная дифференциальная 1-форма, которая вместе с левоинвариантной псевдоримановой метрикой определяют на Sol параконтактную метрическую структуру. Найдено трехпараметрическое семейство левоинвариантных параконтактных метрических связностей, то есть линейных связностей, инвариантных относительно левых сдвигов, в которых структурные тензоры параконтактной структуры ковариантно постоянны. Среди этих связностей выделена плоская связность. Установлено, что часть геодезических плоской связности являются геодезическими усеченной связности, представляющей собой ортогональную проекцию исходной связности на -мерное контактное распределение. Это означает, что данная связность согласована с контактным распределением. Таким образом, на многообразии Sol имеется псевдосубриманова структура, определяемая вполне неголономным контактным распределением и ограничением на него исходной псевдоримановой метрики.
В представленной статье мы доказываем, что если — это -мерное компактное риманово многообразие и если где , и — секционная кривизна и кривизна Риччи многообразия , то оно будет диффеоморфным сферической пространственной форме . В частности, если односвязное, то оно диффеоморфно евклидовой сфере
Изучаются алгебры Ли дифференцирований линейной алгебры, операция умножения в которой определяется с помощью линейной формы и двух фиксированных элементов основного поля. Дано определение дифференцирования линейной алгебры, получена система линейных однородных уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного дифференцирования. Построено вложение алгебры Ли дифференцирований в алгебру Ли квадратных матриц порядка n над полем Р. Это позволило дать оценку размерности алгебры Ли дифференцирований сверху. Доказано, что размерность алгебры дифференцирований изучаемых алгебр равна n2 – n, где n — размерность алгебры. Далее приводится результат о максимальной размерности алгебры Ли дифференцирований линейной алгебры, обладающей единицей. С опорой на приведенные факты доказано, что изучаемые алгебры не могут иметь единицы.
Исследуется преобразование Бианки для поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Поверхности вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны — это волчок Миндинга, катушка Миндинга, псевдосфера (поверхность Бельтрами). К поверхностям постоянной отрицательной гауссовой кривизны относятся также поверхность Куэна и поверхность Дини. Изучение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосферических поверхностей) имеет большое значение для интерпретаций планиметрии Лобачевского. Установлена связь геометрических характеристик псевдосферических поверхностей с теорией сетей, теорией солитонов, нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями синус-Гордона. Уравнение sin-Гордона играет важную роль в современной физике. Преобразования Бианки позволяют получить по данной псевдосферической поверхности новые псевдосферические поверхности.
С использованием математического пакета строятся катушка Миндинга и ее преобразования Бианки.