Левоинвариантная параконтактная метрическая структура на группе Sol
Аннотация
В известном списке восьми трехмерных геометрий Тёрстона находится геометрия многообразия Sol. Многобразие Sol — связная односвязная группа Ли вещественных матриц специального вида. На многообразии Sol имеется левоинвариантная псевдориманова метрика, для которой группа левых сдвигов является максимальной просто-транзитивной группой изометрии. В настоящей работе доказано, что на многообразии Sol существует левоинвариантная дифференциальная 1-форма, которая вместе с левоинвариантной псевдоримановой метрикой определяют на Sol параконтактную метрическую структуру. Найдено трехпараметрическое семейство левоинвариантных параконтактных метрических связностей, то есть линейных связностей, инвариантных относительно левых сдвигов, в которых структурные тензоры параконтактной структуры ковариантно постоянны. Среди этих связностей выделена плоская связность. Установлено, что часть геодезических плоской связности являются геодезическими усеченной связности, представляющей собой ортогональную проекцию исходной связности на -мерное контактное распределение. Это означает, что данная связность согласована с контактным распределением. Таким образом, на многообразии Sol имеется псевдосубриманова структура, определяемая вполне неголономным контактным распределением и ограничением на него исходной псевдоримановой метрики.
Список литературы
1. Терстон У. Трехмерная геометрия и топология. М., 2001.
2. Банару М. В. О почти контактных метрических гиперповерхностях с малыми типовыми числами в W4-многообразиях // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2018. Т. 1. С. 67—70.
3. Галаев С. В. ÑN-Эйнштейновы почти контактные метрические многообразия // Вестник Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2021. № 70. С. 5—15.
4. Паньженский В. И., Растрепина А. О. Левоинвариантная контактная метрическая структура на многообразии Sol // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2020. Т. 162, № 1. С. 77—90.
5. Паньженский В. И., Растрепина А. О. Левоинвариантная парасасакиева структура на группе Гейзенберга // Вестник Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2022. № 75. С. 38—51.
6. Смоленцев Н. К. Левоинвариантные парасасакиевы структуры на группах Ли // Вестник Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2019. № 62. С. 27—37.
7. Смоленцев Н. К., Шагабудинова И. Ю. О парасасакиевых структурах на пятимерных алгебрах Ли // Вестник Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2021. № 69. С. 37—52.
8. Calvaruso G. Three-dimensional homogeneous almost contact metric structures // J. Geom. Phys. 2013. Vol. 69. P. 60—63.
9. Calvaruso G., Martin-Molina V. Paracontact metric structures on the unit tangent sphere bundle // Annali di Matematica Puraed Applicata. 2015. Vol. 194. P. 1359—1380.
10. Calvaruso G., Perrone A. Left-invariant hypercontact structures on three-dimensional Lie groups // Periodica Mathematica Hungarica. 2014. Vol. 69. P. 97—108.
11. Calvaruso G., Perrone A. Five-dimensional paracontact Lie algebras // Diff. Geom. and its Appl. 2016. Vol. 45. P. 115—129.
12. Diatta А. Left invariant contact structures on Lie groups // Diff. Geom. and its Appl. 2008. Vol. 26, № 5. P. 544—552.
13. Паньженский В. И., Растрепина А. О. Контактная и почти контактная структура на вещественном расширении плоскости Лобачевского // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2021. Т. 163, № 3-4. С. 291—303.
14. Вершик А. М., Фадеев Л. Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении. Проблемы теоретической физики. Л., 1975. С. 129—141.
15. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. 1987. Т. 16. С. 5—85.