2024 Выпуск 55(1)

О скалярных компонентах канонической формы на расслоениях реперов высших порядков

Аннотация

Произведен подробный вывод выражений для ска­ляр­ных компонент канонической формы на расслоени­ях реперов высших порядков над гладким многообра­зием. Каноническая форма на расслоении реперов по­рядка p + 1 над n-мерным гладким многообразием явля­ется век­торнозначной дифференциальной 1-формой, прини­ма­ющей значения в касательном пространстве к рассло­е­нию реперов порядка p над n-мерным арифме­тическим пространством, в единице дифференциальной группы. Ее скалярные компоненты являются диффе­ренциаль­ны­ми 1-формами и представляют собой коэф­фициенты ее раз­ложения по натуральному базису дан­ного касатель­но­го пространства. Поскольку каждый репер представ­ля­ется некоторым полиномиальным отображением в за­дан­ной локальной карте на гладком многообразии, то ка­сательный вектор к расслоению ре­перов представля­ет­ся разложением однопараметриче­ского семейства по­ли­номиальных отображений по формуле Маклорена пер­вого порядка относительно па­раметра. Искомые фор­мулы получаются приравнивани­ем коэффициентов двух разложений для одного и того же касательного вектора.

Список литературы

1.   Евтушик Л. Е. Дифференциальные связности и инфинитези­мальные преобразования продолженной псевдогруппы // Тр. Геом. се­мин. М., 1969. Т. 2. С. 119—150.

2.   Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. Т. 9. С. 5—246.

3.   Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геомет­рии. Т. 1. М., 1981.

4.   Кулешов А. В. О конструкции канонической формы на рассло­ении реперов // ДГМФ. 2023. № 54 (2). С. 5—17. https://doi.org/10. 5922/0321-4796-2023-54-2-1.

5.   Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры выс­ших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

6.   Юмагужин В. А. Интегрируемые геометрические структуры конечного типа // Фундамент. и прикл. матем. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 255—269.

7.   Kolář I., Michor P., Slovák J. Natural operations in differential geometry. Berlin ; Heidelberg, 1993.

8.   Kolář I. Canonical forms on the prolongations of principalfibre bundles // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1971. Vol. 16. Р. 1091—1106.

9.   Kurek J., Mikulski W. Canonical vector valued 1-forms on higher or­der principal prolongations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2008. Vol. 29. P. 24—26. https://doi.org/10.1134/S199508020801006X.