Две теоремы исчезновения и теорема оценки наименьшего собственного значения лапласиана Ходжа — де Рама
Аннотация
В данной работе рассматривается лапласиан Ходжа — де Рама. Формулируются две теоремы об исчезновении ядра лапласиана Ходжа — де Рама. Уточняется оценка наименьшего собственного значения лапласиана на замкнутых римановых многообразиях.
In this paper, we formulate two theorems on the disappearance of the kernel of the Hodge — de Rham Laplacian and refine the estimate for its smallest eigenvalue on closed Riemannian manifolds.
О некоторых тензорах 6-мерных уплощающихся эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли
Аннотация
В данной заметке рассмотрены 6-мерные уплощающиеся эрмитовы подмногообразия алгебры октав. Вычислены компоненты тензора римановой кривизны, тензора Риччи и тензора Вейля конформной кривизны.
In the present note, we consider six-dimensional Hermitian planar submanifolds of Cayley algebra. The almost Hermitian structure on such a six-dimensional submanifold is induced by means of so-called Brown — Gray three-fold vector cross products in Cayley algebra. The six-dimensional Hermitian planar submanifolds of the octave algebra contain all six-dimensional Kählerian submanifolds of Cayley algebra. However, there exist non-Kählerian six-dimensional Hermitian planar submanifolds in the octave algebra. The components of the tensor of the Riemannian curvature for a six-dimensional almost Hermitian planar submanifold of Cayley algebra are computed. Remark that the tensor of Riemannian curvature plays a fundamental role in geometry of almost Hermitian manifolds. Knowing all components of the tensor of the Riemannian curvature for a six-dimensional almost Hermitian planar submanifold of the octave algebra, it is possible to study so-called Gray’s identities for this submanifold. The components of the Ricci tensor and of the tensor of conformal curvature (known also as Weyl tensor) for a six-dimensional almost Hermitian planar submanifold of Cayley algebra are also computed.
Параллельные перенесения в связностях трех типов для коконгруэнции K(n-m)m
Аннотация
Комплекс K(n-m)m-плоскостей в случае, когда его размерность превышает , является подмногообразием многообразия Грассмана и по классификации Близникаса называется коконгруэнцией m-мерных плоскостей.
В n-мерном проективном пространстве продолжается исследование коконгруэнции m-мерных плоскостей.
Ранее было показано, что расширенное композиционное оснащение данной коконгруэнции полями ()-мерных плоскостей и точками на m-мерных плоскостях позволяет задать связности трех типов в ассоциированном расслоении.
В данной работе изучены параллельные перенесения аналога плоскости Картана в связностях трех типов. Доказаны теоремы о видах пераллельных перенесений аналога плоскости Картана в связностях первого, второго и третьего типов.
Все исследования осуществляются с использованием метода Картана — Лаптева.
We continue to study the cocongruence of -dimensional planes using the Cartan — Laptev method. In an -dimensional projective space , the cocongruence of -dimensional planes can be given by the following equations . Compositional clothing of a given cocongruence by fields of ()-planes : and points allows one to define connections of three types in the associated bundle. In the present paper, parallel transports of an analogue of Cartan plane are studied in the connections of three types. It is proved 4 theorems: 1. Parallel transport of the analogue of the Cartan plane in an arbitrary connection is freely degenerate, i. e., in general, there are no special transports of this clothing plane. 2. In the group connection of the first type, the parallel transport of an analog of the Cartan plane is connected degenerate, i. e., the plane will be fixed under parallel transport in this connection. 3. In the group connections of the second and third types, the parallel transport of the analogue of the Cartan plane is freely degenerate. 4. The analogue of the Cartan plane is transferred in parallel in a linear combination of the first type connection if and only if it is displaced in the plane .
О размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений более двух пространств аффинной связности первого типа
Аннотация
Теория движений в обобщенных пространствах является одним из направлений в современной дифференциальной геометрии. Вопросами движений в различных пространствах аффинных связностей занимались такие ученые, как Э. Картан, П. К. Рашевский, П. А. Широков, И. П. Егоров, А. Я. Султанов. Движения в прямых произведениях двух пространств аффинной связности рассматривались в работе М. В. Моргун.
В случае прямого произведения более двух пространств аффинной связности вопрос о размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований данного пространства оставался открытым.
В данной статье получена оценка верхней границы размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности, представляющих собой прямое произведение не менее трех непроективно-евклидовых пространств определенного вида.
Для решения этой задачи получена система линейных однородных уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного инфинитезимального аффинного преобразования. Эта система найдена с использованием свойств производной Ли, примененной к тензорному полю кривизны рассматриваемых пространств. Оценка ранга данной системы позволяет получить оценку снизу ранга матрицы рассматриваемой системы.
The theory of motions in generalized spaces is one of the directions in modern differential geometry. Such scientists as E. Cartan, P. K. Rashevsky, P. A. Shirokov, I. P. Egorov, A.Ya. Sultanov and other scientists were engaged in the study of movements in various spaces of affine connections. The question of movements in direct products of two spaces of affine connection was considered in M. V. Morgun’s work. In the case of a direct product of more than two spaces of affine connection, the question of the dimension of Lie algebras of infinitesimal affine transformations of a given space remained open. In this article, an estimate of the upper bound of the dimension of the Lie algebra of infinitesimal affine transformations of affine connection spaces, representing a direct reproduction of at least three non-projective Euclidean spaces of a certain type, is obtained. To solve this problem, a system of linear homogeneous equations is obtained, which is satisfied by the components of an arbitrary infinitesimal affine transformation. This system is found using the properties of the Lie derivative applied to the tensor field of curvature of the spaces under consideration. The evaluation of the rank of this system allows us to obtain an estimate from below of the rank of the matrix of the system under consideration.
Аналоги симметрической и плоской связностей с нетензорами кручения и кривизны
Аннотация
Изучается аффинная связность в расслоении, ассоциированном с многообразием, структурные уравнения и деривационные формулы которого построены с помощью деформаций внешнего и обычного дифференциалов. Кривизна и кручение аффинной связности на этом многообразии не являются тензорами. Доказано, что если тензор деформации связности симметричен или равен нулю, то связность является полусимметрической. Построен аналог симметрической плоской связности, названный простой связностью. Кручение и кривизна этой связности выражаются через симметричный тензор деформации связности. Каноническая связность является частным случаем простой связности, она плоская и несимметричная.
The paper is devoted to affine connection in the frame bundle associated with a manifold which structure equations and derivation formulas are constructed using deformations of the exterior and ordinary differentials. Curvature and torsion objects of this connection are not tensors. A characteristic of a curvature which is a convolution of a deformation tensor and a torsion, is considered. Torsion-free connections are not distinguished on the introduced manifold, even in the case of symmetric deformation, a class of semi-symmetric connections is distinguished, which is an analogue of symmetric connection on an ordinary smooth manifold. It is proved that if the connection deformation tensor is symmetric or zero, then the connection is semi-symmetric. Analogues of torsion-free and curvature-free connections are constructed. The torsion and curvature of this connection are expressed in terms of the symmetric deformation tensor for the connection. Canonical connection is a special case of this connection, it is semi-symmetric and curvature-free.