2025 Выпуск 56

Формулируются две задачи: 1) проанализировать одно из из­вестных условий минимальности почти контактной метри­че­ской гиперповерхности почти эрмитова многообразия; 2) вы­яснить, как связано условие минимальности Аббаса для ги­пер­поверхности с классической обобщенной структурой Кен­моцу в многообразии Вайсмана — Грея с условием минималь­ности гиперповерхности со структурой Кириченко — Ус­ко­рева.

В данной статье формулируются необходимые и доста­точные условия постоянства скалярной кривизны -мерного  компактного риманова многообразия . В частно­сти, найдены условия постоянства скалярной кривизны ком­пактного риманова многообразия в случае квазиотрицательного тензора Риччи. Также получены условия того, что ком­пактное риманово многообразие  является многообра­зием Эйнштейна.

В данной заметке мы рассматриваем 6-мерные келеровы подмногообразия алгебры октав. Для таких подмногообразий вычислены компоненты тензора конгармонической кривизны. Этот тензор является инвариантом так называемых конгармо­нических преобразований, то есть конформных преобразова­ний, сохраняющих свойство гармоничности гладких функций.

Установлено, что эрмитова структура на скрученном про­изведении двумерного комплексного евклидова пространства  и комплексного гиперболического пространства  не яв­ля­ется устойчивой.

Статья посвящена памяти учено­го-геометра Попова Юрия Иванови­ча, од­ного из ярких представителей Кали­нин­градской геометрической школы, про­фессора БФУ им. И. Кан­та. Описывает­ся научная работа по дифференциаль­ной геометрии гипер­полос и составных рас­пределений и пе­дагогическая работа уче­ного за 55 лет. Ю. И. Попов — автор 161 на­уч­ной публикации, 54 учебных посо­бий и методических разработок по эле­ментарной и высшей математике. Спи­сок пуб­ликаций представлен в дан­ной статье.

В проективном пространстве рассмотрена область, описан­ная точкой. Над областью возникает главное расслоение, ти­по­вым слоем которого является подгруппа стационарности точки.

В этом расслоении задана фундаментально-групповая связ­ность по Г. Ф. Лаптеву. Показано, что оснащение Бортолотти рассматриваемой области индуцирует центропроективные связ­ности трех типов в ассоциированном расслоении, причем дан­ные связности имеют нулевую кривизну и нулевоекручение.

Даны геометрические характеристики полученным связ­но­стям.

Аффинные преобразования в обобщенных пространствах являются одним из важнейших направлений в современной дифференциальной геометрии. В случае прямого произведе­ния более двух пространств аффинной связности вопрос об аф­финных преобразованиях данного пространства оставался от­крытым. М. В. Глебовой и А. Я. Султановым ранее была полу­че­на оценка размерности алгебры Ли инфинитезимальных аф­финных преобразований пространств аффинной связности, пред­ставляющих собой прямое произведение не менее трех не­проективно-евклидовых пространств, удовлетворяющих спе­циальному условию. Такие пространства названы прост­ран­ствами первого типа. В данной работе доказана точность этой оценки. Для решения поставленной задачи исследована сис­тема линейных однородных уравнений, которой удовле­тво­ряют компоненты произвольного инфинитезимального аф­финного преобразования. Эта система получена с использова­нием свойств производной Ли, примененной к тензорному по­лю кривизны рассматриваемых пространств.

Рассматривается задача о волнах на воде в трехмерном случае без поверхностного натяжения, относящаяся к классу задач со свободной границей. Как показали Т. Брук Бенджа­мин и П. Олвер, на задачи такого типа можно распространить методы группового анализа дифференциальных уравнений. Основу группового анализа составляет техника вычисления алгебры Ли инфинитезимальных симметрий заданной систе­мы дифференциальных уравнений. Цель настоящей работы — продемонстрировать применение этих методов на примере вышеуказанной задачи. Произведен подробный вывод базис­ных инфинитезимальных симметрий, указан их физический смысл, вычислены их попарные коммутаторы и найдены чле­ны производного ряда для алгебры Ли, являющейся линейной оболочкой данных инфинитезимальных симметрий. Показано, что все инфинитезимальные симметрии вышеуказанной зада­чи образуют 13-мерную неразрешимую алгебру Ли, что согла­суется с результатом, приведенным без доказательства в рабо­те вышеуказанных авторов.

Рассматривается многообразие, структурные уравнения ко­торого построены с помощью деформации внешнего диф­фе­ренциала. Кручение и кривизна аффинной связности на этом многообразии не являются тензорами. Кривизна является тензором, причем нулевым, только для канонической связно­сти. Кручение совпадает с антисимметрией слоевых коорди­нат и не обращается в нуль даже для канонической связности. Ка­ноническая связность, в отличие от связности Леви-Чиви­ты, является плоской и несимметричной.

Построены обобщенные тождества Риччи и Бианки для кри­визны и кручения аффинной связности на этом многообра­зии. Однако повторный деформированный дифференциал от ба­зисных форм и форм связности обращается в нуль только вдоль линии на многообразии. Для канонической связности эти тождества приобретают классический вид. Причем в этом случае повторный деформированный дифференциал от форм связности тождественно равен нулю, а повторный деформи­рованный дифференциал от базисных форм обращается в нуль только вдоль линии на многообразии.

Разложение Йорка пространства симметричных 2-тензо­ров воз­никло в теоретической физике и нашло применение в ри­мановой гео­метрии, как это показано в известной моногра­фии Бессе о многооб­ра­зиях Эйнштейна. В этой статье мы вы­во­дим разложения Йорка для тен­зоров Кодацци, Киллинга и Рич­чи на замкнутом римановом мно­го­образии. В частности, мы выводим разложения Йорка для 2-тензо­ров Кодацци, Кил­лин­га и Кодацци с постоянными следами.