Трансцендентальный анализ математики: конструктивный характер математической деятельности
- DOI
- 10.5922/0207-6918-2016-1-2
- Страницы / Pages
- 16-33
Аннотация
Трансцендентальная философия Канта нацелена на исследование как человеческого способа познания в целом (В 25), так и отдельных видов нашего познания с целью обоснования их объективной значимости. Задачей данной статьи является экспликации кантовского понимания математического (по)знания как «конструирования [конструкции из] понятий» (см.: «конструировать понятие — значит показать априори соответствующее ему созерцание» (A 713/В 741)), основательность которой «зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» (A 726/В 754). Математические предметы в отличие от конкретных «физических» имеют абстрактный характер и вводятся посредством принципа абстракции Юма — Фреге. Кант на основе своего учения о схематизме развивает оригинальную концепцию абстракции: кантовские схемы выступают как способы построения (конструирования) математических предметов, как «действия чистого мышления» (В 81). Конструктивное понимание математической деятельности, восходящее к генетическому методу Евклида, стало важной новацией Канта и лежит в основе современного математического формализма, интуиционизма и конструктивизма. В рамках кантовского конструктивизма математику можно представить как двухуровневую систему познания, что предполагает первоначальный «спуск» с уровня рассудочных понятий на уровень чувственных созерцаний, где собственно и осуществляются математические действия, и обратный «подъем» наверх. На этой основе мы развиваем концепцию трансцендентального конструктивизма (прагматизма). В частности, кантовскую «созерцательность» математики можно понимать как ее структурность и говорить о «логическом пространстве» (Витгенштейн; ср. со структуралистским пониманием математики). Кант выделяет два типа конструирования: остенсивное (геометрия) и символическое (алгебра). Анализируется каждый из этих типов конструирования и показывается, что современные математические построения (конструкции) представляют сочетание и переплетение обоих типов конструирования, а также выделяется третий тип — логическое конструирование (при доказательстве теорем ), который наследует черты обоих типов кантовского конструирования.
Abstract
Kant’s transcendental philosophy (transcendentalism) focuses on both the human method of cognition in general [CPR, B 25] and certain types of cognition aimed at justifying their objective significance. This article aims to explicate Kant’s understanding (resp. justification) of the abstract nature of mathematical knowledge (cognition) as the “construction of concepts in intuition” (see: “to construct a concept means to exhibit a priori the intuition corresponding to it”; [CPR, A 713/В 741], which is “thoroughly grounded on definitions, axioms, and demonstrations” [CPR, A 726/В 754]. Unlike specific ‘physical’ objects, mathematical objects are of abstract nature and they are introduced using Hume’s principle of abstraction. Based on the doctrine of schematism, Kant develops an original theory of abstraction: Kant’s schemes serve as a means to construct mathematical objects, as an “action of pure thought" [CPR, B 81]. A ‘constructive’ understanding of mathematical acts going back to Euclid’s genetic method is an important innovation introduced by Kant. This understanding is at the heart of modern mathematical formalism, intuitionism, and constructivism. Within Kant’s constructivism, mathematics can be described as a two-tier system, which suggests a “shift” from the level of concepts of the understanding to the level of sensual intuition, where mathematical acts are performed, followed by a subsequent return to the initial level. On this basis, the author develops a theory of transcendental constructivism (pragmatism). In particular, Kant's ‘intuitionism’ of mathematics can be understood as structural properties of mathematical language or its ‘logical space’ (Wittgenstein; cf. mathematical structuralism). In his theory, Kant distinguishes between two types of constructing — ostensive (geometric) and symbolic (algebraic). The paper analyses these types and shows that modern mathematical structures are a combination and intertwining of both. The author also identifies a third type — logical constructing [in proving theorems], which inherits the features of both Kant's types.
Список литературы
1. Аристотель. О душе // Соч. М., 1975. Т. 1.
2. Винберг Е. Курс алгебры. М., 2002.
3. Галилей Г. Избранные труды : в 2 т. М., 1964. Т. 1.
4. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М., 1987.
5. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Избранные труды. М., 1998. Т. 1.
6. Гильберт Д. Добавление VI «О понятии числа» // Гильберт Д. Основания геометрии М. ; Л., 1948.
7. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961.
8. Кант И. Критика чистого разума // Собр. соч. : в 8 т. М., 1994. Т. 3.
9. Катречко С. Л. К вопросу об априорности математического знания // Математика и опыт. М., 2003. C. 545—574.
10. Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход // Модели рассуждений — 1 : Логика и аргументация. Калининград, 2007. C. 63—90.
11. Катречко С. Л. Трансцендентальная философия математики // Вестник Московского университета. 2008. Сер. 7 : Философия. № 2. С. 88—106.
12. Катречко С. Л. Абстрактная природа логико-математического знания и приращение информации // Седьмые Смирновские чтения. М., 2011. С. 176—178.
13. Катречко С. Л. Платоновский четырехчастный отрезок (Линия): Платон и Кант о природе (специфике) математического знания // Вестник РХГА. 2013. Т. 14, вып. 3. С. 172—177.
14. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математической деятельности: абстрактные (математические) объекты, конструкции и доказательства // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014a. С. 86—120.
15. Катречко С. Л. Математика как «работа» с абстрактными объектами: онтолого-трансцендентальный статус математических абстракций // Математика и реальность : тр. Московского семинара по философии математики. М., 2014b. С. 421—452.
16. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математики: абстрактная природа математического знания // Кантовский сборник. 2015. № 2 (52). С. 16—31.
17. Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957.
18. Койре А. Очерки по истории философской мысли. М., 1985.
19. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М., 1967.
20. Маслов С. Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М., 1986.
21. Новоселов М. М. «Абстракция», «абстрактный объект»: статьи из «Новой философской энциклопедии». URL: http://iph.ras.ru/elib/0019.html (дата обращения: 01.11.2015).
22. Новоселов М. М. Логика абстракций (методол. анализ). М., 2000.
23. Смирнов В. А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В. А. Смирнова (ред. В. И. Шалак). М., 2001. С. 417—438.
24. Фреге Г. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование понятия числа). Томск, 2000.
25. Хинтикка Я. Поверхностная информация и глубинная информация // Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 182—228.
26. Шульпеков В. А. Инструментальная структура математических построений // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014. С. 331—335.
27. Parsons Charles. Mathematical Thought and Its Objects. Cambridge Univ. Press, 2008.
28. Rosen Gideon Аbstract Objects (19.07.2001). URL: http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects/ (дата обращения: 01.11.2015).
Reference
1. Aristotle, 2011, in: Shiffman, M. De Anima: On the Soul, (Newburyport, MA: Focus Publishing.
2. Frege, G. 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Breslau. (English: The Foundations of Arithmetic: the logical-mathematical Investigation of the Concept of Number).
3. Galileiy, G, 1964,Izbrannye trudy v 2 t. M.: Nauka, 1964. v.1.
4. Galileiy, G., 1987, Probirnyh del master. M. Nauka.
5. Gil'bert. D., 1998, Aksiomaticheskoe myshlenie //Ego j`e. Izbrannye trudy, T. 1, M. : Faktorial.
6. Gil'bert, D., 1948 O ponjatii chisla // Ego j`e. Osnovanija geometrii M.—L., OGIZ.
7. Gudsteiyn,R. L., 1961, Matematicheskaja logika. M. : Izd-vo IL.
8. Hintikka, J. 1978, Surface Information and Depth Information. In: Logico-Epistemologic Research.
9. Kant I., 1994, Kritika chistogo razuma. In: Kant I. Sob. soch. v 8-mi tt. V. 3. M.: CHoro.
10. Katrechko, S. L. 2003, K voprosu ob apriornosti matematicheskogo znanija [On the question of a priori mathematical knowledge]. In: Matematika i opyt [Mathematics and Experience]. M. : MGU, s. 545—574.
11. Katrechko, S. L. 2007, Modelirovanie rassuj`deniiy v matematike: transcendental'nyiy podhod [Modeling reasoning in mathematics: transcendental approach]. In: Modeli rassuj` deniiy — 1 : Logika i argumentacija. Kaliningrad : Izd. RGU im. I. Kanta, 2007. s. 63—90.
12. Katrechko, S. L. 2008, Transcendental'naja filosofija matematiki [Transcendental philosophy of mathematics]. In: Vestnik Moskovskogo universiteta. Serija 7 «Filosofija [Philosophy] », № 2, 2008. M. : Izd—vo MGU, s. 88—106.
13. Katrechko S. L., 2011, Abstraktnaja priroda logiko-matematicheskogo znanija i prirashenie informacii. In: Sed'mye Smirnovskie chtenija. M. : Sovremennye tetradi, s. 176—178.
14. Katrechko, S. L. 2013, Platonovskiiy chetyrehchastnyiy otrezok (Linija): Platon i Kant o prirode (specifike) matematicheskogo znanija [Plato’s Divided Line: Plato and Kant about the nature (specific) of the mathematics]. In: Vestnik RHGA, T. 14, vyp. 3, 2013. s. 172—177.
15. Katrechko, S. L. 2014а, Transcendental'nyy analiz matematicheskoy deiatel'nosti: abstraktnye (matematicheskie) ob'ekty, konstrukcii i dokazatel'stva [Transcendental analysis of mathematics: abstract (mathematical) objects, constructions and proofs]. In: Dokazatel'stvo: ochevidnost', dostovernost' i ubeditel'nost' v matematike [Proof: evidence, credibility and convincing sequences in mathematics. Moscow Study in the Philosophy of Mathematics], Moscow, s. 86—120.
16. Katrechko, S. L. 2014в, Matematika kak «rabota» s abstraktnymi ob"ektami: ontologo— transcendental'nyiy status matematicheskih abstrakciiy [Mathematics as a "job" with abstract objects: ontological-transcendental status of mathematical abstractions]. In: Matematika i real'nost' [Mathematics and reality]. Trudy Moskovskogo seminara po filosofii matematiki. M., Izd-vo MGU, s. 421—452.
17. Katrechko S. L., 2015, Transcendental'nyiy analiz matematiki: abstraktnaja priroda matematicheskogo znanija. In: Kantovskiiy sbornik [The Kantovsky sbornik], 2015, № 2 (52). s. 16—31 (http://journals. kantiana. ru/kant_collection/2017/5885/).
18. Klini S., 1957, Vvedenie v metamatematiku, M. : IL.
19. Koiyre A., 1985, Ocherki po istorii filosofskoiy mysli, M.
20. Maslov S. JU., 1986, Teorija deduktivnyh sistem i ee primenenija. M. : Radio i svjaz'.
21. Lakatos, I. 1976, Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press.
22. Novoselov M. M., 2000, «Abstrakcija», «abstraktnyiy ob"ekt». In: Novoiy filosofskoiy enciklopedii [The new philosophical encyclopedia]: http://iph. ras. ru/elib/0019.html
23. Novoselov M. M. Logika abstrakciiy (metodol. analiz). M. : IFRAN.
24. Parsons, C. 2008, Mathematical Thought and Its Objects, Cambridge Univ. Press.
25. Rosen, G. 2001, Аbstract Objects; URL: http://plato. stanford. edu/entries/abstractobjects/
26. SHul'pekov V. A., 2014, Instrumental'naja struktura matematicheskih postroeniiy. In: Dokazatel'stvo: ochevidnost', dostovernost' i ubeditel'nost' v matematike [Proof: evidence, credibility and convincing sequences in mathematics. Moscow Study in the Philosophy of Mathematics], Moscow, s. 331—335.
27. Smirnov, V. A. 2001, Geneticheskiiy metod postroenija nauchnoiy teorii //Logikofilosofskie trudy V. A. Smirnova. M. Editoral URSS, s. 417—438. \
28. Vinberg E., 2002, Kurs algebry, M., Faktorial Press.