Трансцендентальный анализ математики: конструктивный характер математической деятельности
Аннотация
Трансцендентальная философия Канта нацелена на исследование как человеческого способа познания в целом (В 25), так и отдельных видов нашего познания с целью обоснования их объективной значимости. Задачей данной статьи является экспликации кантовского понимания математического (по)знания как «конструирования [конструкции из] понятий» (см.: «конструировать понятие — значит показать априори соответствующее ему созерцание» (A 713/В 741)), основательность которой «зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» (A 726/В 754). Математические предметы в отличие от конкретных «физических» имеют абстрактный характер и вводятся посредством принципа абстракции Юма — Фреге. Кант на основе своего учения о схематизме развивает оригинальную концепцию абстракции: кантовские схемы выступают как способы построения (конструирования) математических предметов, как «действия чистого мышления» (В 81). Конструктивное понимание математической деятельности, восходящее к генетическому методу Евклида, стало важной новацией Канта и лежит в основе современного математического формализма, интуиционизма и конструктивизма. В рамках кантовского конструктивизма математику можно представить как двухуровневую систему познания, что предполагает первоначальный «спуск» с уровня рассудочных понятий на уровень чувственных созерцаний, где собственно и осуществляются математические действия, и обратный «подъем» наверх. На этой основе мы развиваем концепцию трансцендентального конструктивизма (прагматизма). В частности, кантовскую «созерцательность» математики можно понимать как ее структурность и говорить о «логическом пространстве» (Витгенштейн; ср. со структуралистским пониманием математики). Кант выделяет два типа конструирования: остенсивное (геометрия) и символическое (алгебра). Анализируется каждый из этих типов конструирования и показывается, что современные математические построения (конструкции) представляют сочетание и переплетение обоих типов конструирования, а также выделяется третий тип — логическое конструирование (при доказательстве теорем ), который наследует черты обоих типов кантовского конструирования.
Список литературы
1. Аристотель. О душе // Соч. М., 1975. Т. 1.
2. Винберг Е. Курс алгебры. М., 2002.
3. Галилей Г. Избранные труды : в 2 т. М., 1964. Т. 1.
4. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М., 1987.
5. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Избранные труды. М., 1998. Т. 1.
6. Гильберт Д. Добавление VI «О понятии числа» // Гильберт Д. Основания геометрии М. ; Л., 1948.
7. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961.
8. Кант И. Критика чистого разума // Собр. соч. : в 8 т. М., 1994. Т. 3.
9. Катречко С. Л. К вопросу об априорности математического знания // Математика и опыт. М., 2003. C. 545—574.
10. Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход // Модели рассуждений — 1 : Логика и аргументация. Калининград, 2007. C. 63—90.
11. Катречко С. Л. Трансцендентальная философия математики // Вестник Московского университета. 2008. Сер. 7 : Философия. № 2. С. 88—106.
12. Катречко С. Л. Абстрактная природа логико-математического знания и приращение информации // Седьмые Смирновские чтения. М., 2011. С. 176—178.
13. Катречко С. Л. Платоновский четырехчастный отрезок (Линия): Платон и Кант о природе (специфике) математического знания // Вестник РХГА. 2013. Т. 14, вып. 3. С. 172—177.
14. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математической деятельности: абстрактные (математические) объекты, конструкции и доказательства // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014a. С. 86—120.
15. Катречко С. Л. Математика как «работа» с абстрактными объектами: онтолого-трансцендентальный статус математических абстракций // Математика и реальность : тр. Московского семинара по философии математики. М., 2014b. С. 421—452.
16. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математики: абстрактная природа математического знания // Кантовский сборник. 2015. № 2 (52). С. 16—31.
17. Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957.
18. Койре А. Очерки по истории философской мысли. М., 1985.
19. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М., 1967.
20. Маслов С. Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М., 1986.
21. Новоселов М. М. «Абстракция», «абстрактный объект»: статьи из «Новой философской энциклопедии». URL: http://iph.ras.ru/elib/0019.html (дата обращения: 01.11.2015).
22. Новоселов М. М. Логика абстракций (методол. анализ). М., 2000.
23. Смирнов В. А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В. А. Смирнова (ред. В. И. Шалак). М., 2001. С. 417—438.
24. Фреге Г. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование понятия числа). Томск, 2000.
25. Хинтикка Я. Поверхностная информация и глубинная информация // Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 182—228.
26. Шульпеков В. А. Инструментальная структура математических построений // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014. С. 331—335.
27. Parsons Charles. Mathematical Thought and Its Objects. Cambridge Univ. Press, 2008.
28. Rosen Gideon Аbstract Objects (19.07.2001). URL: http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects/ (дата обращения: 01.11.2015).