Трансцендентальный анализ математики: абстрактная природа математического знания
- DOI
- 10.5922/0207-6918-2015-2-1
- Страницы / Pages
- 16-31
Аннотация
Трансцендентальная философия (трансцендентализм) Канта нацелена на исследование как человеческого способа познания в целом (В 25), так и отдельных видов нашего познания с целью обоснования их объективной значимости. Задачей данной статьи стала экспликации кантовского понимания (resp. обоснования) абстрактного характера математического знания (познания) как «конструирования [из] понятий» (см.: «конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание»; (A713/В 741)), основательность которой «зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» (A726/В 754). Математические предметы, в отличие от конкретных «физических», имеют абстрактный характер (a-объекты vs. the-объекты) и вводятся (задаются) посредством принципа абстракции Юма — Фреге. Кант на основе своего учения о схематизме развивает оригинальную концепцию абстракции: кантовские схемы выступают как способы построения (конструирования) математических предметов, как «действия чистого мышления» (В 81). Исследуется онтологический статус математических абстракций и выделяется три возможных онтологии — понимание математических предметов/абстракций: 1) как полноценных предметов (вещная онтология; «полнокровный платонизм»); 2) как субстантивированного набора свойств (онтология свойств; Э. Залта); 3) как отношений (реляционная онтология; теория категорий, структурализм).
Abstract
Kant’s transcendental philosophy (transcendentalism) focuses on both the human method of cognition in general [CPR, B25] and certain types of cognition aimed at justifying their objective significance. This article aims to explicate Kant’s understanding (resp. justification) of the abstract nature of mathematical knowledge (cognition) as the “construction of concepts in intuition” (see: “to construct a concept means to exhibit a priori the intuition corresponding to it”; [CPR, A713/В 741], which is “thoroughly grounded on definitions, axioms, and demonstrations” [CPR, A726/В 754]. Mathematical objects, unlike specific ‘physical’ objects, are of abstract nature (a-obj¬ects vs. the-objects) and are introduced (defined) within Hume’s principle of abstraction. Based on his doctrine of schematism, Kant develops an original theory of abstraction: Kant’s scheme serve as a means to construct mathematical objects, as an “action of pure thought" [CPR, B81]. The article investigates the ontological status of mathematical objects/abstractions and describes three possible ontologies — the understanding of mathematical objects/abstractions as: 1 complete objects (the ontology of things; "full-blooded Platonism"); 2) a substantivized set of properties (ontology of properties; E. Zalta); 3) relations (the ontology of relations; category theory, structuralism).
Список литературы
1. Аристотель. О душе // Аристотель. Соч. : в 4 т. М., 1975. Т. 1.
2. Гуссерль Э. О варьировании // Воображение в свете философских рефлексий. М., 2008.
3. Кант И. Критика чистого разума // Кант И. Собр. соч. : в 8 т. М., 1994. Т. 3.
4. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике… // Там же. Т. 4.
5. Кант И. Метафизические начала естествознания // Там же.
6. Кант И. Избранные письма // Там же. Т. 8.
7. Кант И. Семь небольших заметок (1788—1791 гг.) // Кантовский сборник. 2012. № 3 (41).
8. Катречко С. Л. К вопросу об априорности математического знания // Математика и опыт. М., 2003. С. 545—574.
9. Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход // Модели рассуждений — 1: Логика и аргументация. Калининград, 2007. С. 63—90.
10. Катречко С. Л. Трансцендентальная философия математики // Вестник Московского университета. Сер. 7: Философия. 2008. № 2. С. 88—106.
11. Катречко С. Л. О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе // Число : сб. ст. М., 2009. С. 116—133.
12. Катречко С. Л. Как возможна метафизика: на пути к научной [трансцендентальной] метафизике // Вопросы философии. 2012. № 3.
13. Катречко С. Л. Трансцендентальная теория опыта и современная философия науки // Кантовский сборник. 2012. № 4 (42). С. 22—35.
14. Катречко С. Л. Трансцендентализм Канта как особый тип философского исследования // Философия. Язык. Культура. СПб., 2013а. Вып. 4. С. 73—89.
15. Катречко С. Л. Платоновский четырехчастный отрезок (Линия): Платон и Кант о природе (специфике) математического знания // Вестник РХГА. 2013б. Т. 14, вып. 3. С. 172—177.
16. Катречко С. Л. Трансцендентализм Канта как трансцендентальная парадигма философствования // Кантовский сборник. 2014a. № 2 (48). С. 10—25.
17. Катречко С. Л. О понимании термина «трансцендентальный» в кантовской философии // Философия. Язык. Культура. СПб., 2014б. Вып. 5. С. 22—34.
18. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математической деятельности: абстрактные (математические) объекты, конструкции и доказательства // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014в. С. 86—120.
19. Катречко С. Л. Математика как «работа» с абстрактными объектами: онтолого-трансцендентальный статус математических абстракций // Математика и реальность. Труды Московского семинара по философии математики. М., 2014г. С. 421—452.
20. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М., 1967.
21. Новоселов М. М. Логика абстракций (методол. анализ). М., 2000.
22. Платон. Государство // Платон. Собр. соч. : в 4 т. М., 1993. Т. 3. С. 293.
23. Фреге Г. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование понятия числа). Томск, 2000.
24. Хинтикка Я. Поверхностная информация и глубинная информация // Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 182—228.
25. Юм Д. Трактат о человеческой природе // Юм Д. Соч. : в 2 т. М., 1965. Т. 1. С. 128.
26. Benacerraf P. What Numbers Could not Be // The Philosophical Review. 1965. Vol. 74, № 1.
27. Beth E. Mathematical Thought. Dordrecht, 1965.
28. Burgess J., Rosen G. Subject with No Object. Oxford, 1999.
29. Field H. Science without Numbers: a Defense of Nominalism. Oxford, 1980.
30. Field H. Realism, Mathematics and Modality. Oxford, 1989.
31. Frege G. Uber Sinn und Bedeutung // Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik. Leipzig, 1892.
32. Hanna R. Kant and the Foundations of Analytic Philosophy. Oxford, 2001.
33. Hanna R. Kant in the XX century. URL: http://spot.colorado.edu/~rhanna/kant_ in_the_twentieth_century_proofs_dec07.pdf (дата обращения: 01.03.2015).
34. Heck R. The Julius Caesar Objection. URL: http://rgheck.frege.org/pdf/published/ JuliusCaesarObjection.pdf (дата обращения: 01.03.2015).
35. Hellman G. Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpre¬ta¬tion. Clarendon Press, 1989.
36. Hellman G. Structuralism without Structures // Philosophia Mathematica. 4 (2). 1996. P. 100—123.
37. Katrechko S. Ding-Ontology of Aristotle vs. Sachverhalt-Ontology of Wittgenstein // Papers of the 31st International Wittgenstein Symposium. Kirchberg am Wessel, 2008. Vol. 16. P. 169—172.
38. Katrechko S. Transcendentalism as a Special Type of Philosophizing: Kant’s transcendental Shift, Dasein-Analysis of Heidegger and Sachverhalt—Ontology of Wittgenstein // Papers of the 37th International Wittgenstein Symposium. Kirchberg am Wessel, 2014. Vol. 22. P. 147—149.
39. Linsky В., Zalta E. Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism // Journal of Philosophy. 1995. № 10. P. 525—555.
40. Lorenzen P. Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt, 1974.
41. Mally E. Gegenstandstheoretische Grundlagen der Logik und Logistik. Leipzig, 1912.
42. Rohlf M. Immanuel Kant, 2010. URL: http://plato.stanford.edu/entries/kant/ (дата обращения: 01.03.2015).
43. Rosen G. Аbstract Objects. URL: http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects/ (дата обращения: 01.03.2015).
44. Shabel L. Kant's Philosophy of Mathematics. URL: http://plato.stanford.edu/ entries/kant-mathematics/ (дата обращения: 01.03.2015).
45. Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford, 1997
Reference
1. Aristotle 1975, O dushe [On the Soul]. In: Aristotle, Soch. v 4 t. [Works in 4 volumes], Moscow, 1975. T. 1. 2. Husserl, E. 2008, O var'irovanii [On imaginative variation]. In: Voobraj`enie v svete filosofskih refleksiiy [Imagination in philosophy reflection], Moscow. 3. Kant, I. 1994, Kritika chistogo razuma (1787) [Critique of Pure Reason (second edition)]. In: Kant, I. Sobranie sochinenij v 8 t. [Works in 8 volumes], T.3. 4. Kant, I. 1994, Prolegomeny ko vsiakoy budushey metafizike, kotoraia mozhet poiavit'sia kak nauka [Prolegomena to any Future Metaphysics] In: Kant, I. Sobranie sochinenij v 8 t. [Works in 8 volumes], T. 4, s. 5—133. 5. Kant, I. 1994, Izbrannye pis'ma [Selected Letters; letter’s to M. Herz] In: Kant, I. Sobranie sochinenij v 8 t. [Works in 8 volumes], T.8, S. 57—136. 6. Kant, I. 1994, Metafizicheskie nachala estestvoznanija [Metaphysical Foundation] In: Kant, I. Sobranie sochinenij v 8 t. [Works in 8 volumes], T. 4, s. 247—372. 7. Kant, I. 2012, Sem' nebol'shih zametok (1788—1791) [Sieben kleine Aufsätze // Kant’s Sämtliche Werke. Leipzig, 1862. Bd 4. S. 497—507] In: Kantovskiiy sbornik [The Kantovsky sbornik], 2012, № 3 (41). 8. Katrechko, S. L. 2003, K voprosu ob apriornosti matematicheskogo znanija [On the question of a priori mathematical knowledge]. In: Matematika i opyt [Mathematics and Experience], Moscow, s. 545—574. 9. Katrechko, S. L. 2007, Modelirovanie rassuj`deniiy v matematike: transcendental'nyiy podhod [Modeling reasoning in mathematics: transcendental approach]. In: Modeli rassuj`deniiy — 1: Logika i argumentacija. Kaliningrad, 2007. s. 63—90. 10. Katrechko, S. L. 2008, Transcendental'naja filosofija matematiki [Transcendental philosophy of mathematics]. In: Vestnik Moskovskogo universiteta. Serija 7 «Filoso¬fija [Philosophy]», № 2, Moscow, s. 88—106. 11. Katrechko, S. L. 2009, O (koncepte) chisle(a): ego ontologii i genezise [About (concept of) the Number: it’s ontology and genesis]. In: Chislo (sb. stateiy) [The Number], Moscow, S. 116—133. 12. Katrechko S. 2012, Kak vozmozhna metafizika: na puti k nauchnoy [transcendental'noy] me¬tafizike [How is metaphysics possible: On the way to transcendental metaphysics] In: Vop¬rosy filosofii, № 3 [Problems of Philosophy]. 13. Katrechko, S. L. 2013, Transcendentalizm Kanta kak osobyy tip filosofskogo issledovaniia [Kant’s transcendentalism as a special type of philosophizing] In: Filosofiia. IAzyk. Kul'tura. Vyp. 4. SPb., s. 73—89. 14. Katrechko, S. L. 2014, Transcendental'nyy analiz matematicheskoy deiatel'nosti: abstraktnye (matematicheskie) ob'ekty, konstrukcii i dokazatel'stva [Transcendental analysis of mathematics: abstract (mathematical) objects, constructions and proofs]. In: Dokazatel's¬tvo: ochevidnost', dostovernost' i ubeditel'nost' v matematike [Proof: evidence, credibility and convincing sequences in mathematics. Moscow Study in the Philosophy of Mathematics], Moscow, s. 86—120. 15. Katrechko, S. L. 2012, Transcendental'naja teorija opyta i sovremennaja filosofija nauki [Transcendental theory of experience and modern theory (philosophy) of science]. In: Kantovskiiy sbornik [The Kantovsky sbornik], № 4 (42), s. 22—35. 16. Katrechko, S. L. 2013, Platonovskiiy chetyrehchastnyiy otrezok (Linija): Platon i Kant o prirode (specifike) matematicheskogo znanija [Plato’s Divided Line: Plato and Kant about the nature (specific) of the mathematics]. In: Vestnik RHGA, T. 14, vyp. 3, s.172—177. 17. Katrechko, S. L. 2014, Transcendentalizm Kanta kak transcendental'naja paradigma filosofstvovanija [Kant’s transcendentalism as transcendental paradigm of philosophizing]. In: Kantovskiiy sbornik [The Kantovsky sbornik], 2014, № 2 (48), s. 10—25. 18. Katrechko, S. L. 2014, O ponimanii termina «transcendental'nyiy» v kantovskoiy filosofii [About the meaning of the term "transcendental" in the Kant’s philosophy] In: Filosofija. JAzyk. Kul'tura. Vyp. 5. SPb., s. 22—34. 19. Katrechko, S. L. 2014, Matematika kak «rabota» s abstraktnymi ob"ektami: ontologo—transcendental'nyiy status matematiche-skih abstrakciiy [Mathematics as a "job" with abstract objects: ontological-transcendental status of mathematical abstractions]. In: Matematika i real'nost' [Mathematics and reality]. Trudy Moskovskogo seminara po filosofii matematiki. Moscow, s. 421—452. 20. Lakatos, I. 1967, Dokazatel'stva i oproverj`enija. Kak dokazyvajutsja teoremyc [Proofs and Refutations]. Moscow. 21. Novoselov, M. M. 2000, Logika abstrakciiy (metodol. analiz) [Logic of abstractions]. M.: IFRAN; sm. takj`e ego stat'i [articles] «Abstrakcija» [Abstaction], «Abstraktnyiy ob"ekt» [Abstact object]. In: «Novoiy filosofskoiy enciklopedii [New Encyclopedia of Philosophy]». URL: http://iph.ras.ru/elib/0019.html 22. Plato. 1993, Republic [Republic]. In: Sobranie sochineniy v 4 t., Moscow. T. 3, s. 79—420. 23. Frege, G. 2000, Osnovopoloj`enija arifmetiki (logiko-matematicheskoe issledovanie ponjatija chisla) [The Foundations of Arithmetic]. Tomsk. 24. Hintikka, J. A. 1980, Poverhnostnaja informacija i glubinnaja informacija [Surface Information and Depth Information]. In: Logiko-epistemologicheskie issledovanij’ [Logico-Epistemologic Research]. Moscow, s. 182—228. 25. Hume, D. 1965, Traktat o chelovecheskoiy prirode [A Treatise of Human Nature], in ‘Sochinenija v 2 t.’ Moscow. T. 1, s. 128. 26. Benacerraf, P. 1965, What Numbers Could not Be // The Philosophical Review, vol. 74, № 1. 27. Beth, E. 1965, Mathematical Thought. Dordrecht. 28. Burgess, J., Rosen, G. 1999, Subject with No Object. 29. Field, H. 1980, Science without Numbers: a Defense of Nominalism. Oxford. 30. Field, H. 1989, Realism, Mathematics and Modality. Oxford. 31. Frege, G. 1892, Uber Sinn und Bedeutung // Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik, Leipzig. 32. Hanna, R. 2001, Kant and the Foundations of Analytic Philosophy, Oxford. 33. Hanna, R. 2001, Kant in the XX century. URL: http://spot.colorado.edu/~ rhanna/kant_in_the_twentieth_century_proofs_dec07.pdf 34. Heck R. 1997, The Julius Caesar Objection. URL: http://rgheck.frege.org/pdf/ published/JuliusCaesarObjection.pdf 35. Hellman, G. 1989, Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Inter¬pre¬tation. Clarendon Press. 36. Hellman, G. 1996, Structuralism without Structures. In: Philosophia Mathematica 4 (2), p. 100—123. 37. Katrechko, S. 2008, Ding-Ontology of Aristotle vs. Sachverhalt-Ontology of Wittgenstein // Papers of the 31st International Wittgenstein Symposium (Vol. XVI). Kirchberg am Wessel, p. 169—172. 38. Katrechko, S. 2014, Transcendentalism as a Special Type of Philosophizing: Kant’s transcendental Shift, Dasein-Analysis of Heidegger and Sachverhalt-Ontology of Wittgenstein // Papers of the 37th International Wittgenstein Symposium (Vol. XXII). Kirchberg am Wessel, p. 147—149. 39. Linsky, В., Zalta, E. 1995, Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism // Journal of Philosophy, № 10, p.525—555. 40. Lorenzen, P. 1974, Konstruktive Wissenschaftstheorie, Frankfurt. 41. Mally, E. 1912, Gegenstandstheoretische Grundlagen der Logik und Logistik, Leipzig. 42. Rohlf, M. 2010, Immanuel Kant; URL: http://plato. stanford. edu/entries/kant/ (data obraschenija: 01.03.2015). 43. Rosen, G. 2001, Аbstract Objects; URL: http://plato.stanford.edu/entries/abstract- objects 44. Shabel, L. 2013, Kant's Philosophy of Mathematics; URL: http://plato.stanford.edu/ entries/kant-mathematics/ 45. Shapiro, S. 1997, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford.