Текущий выпуск

О расширении касательного пространства 2-го порядка гладкого многообразия

DOI

10.5922/0321-4796-2022-53-9

Страницы / Pages

94-111

Аннотация

С использованием возмущения внешнего и обычно­го дифференциалов введены отображения, позволяю­щие строить несимметричные кореперы и реперы 2-го и более высоких порядков на гладком многообразии. Про­изведено расширение касательного пространства 2-го по­рядка к гладкому m-мерному многообразию за счет до­полнения касательных векторов 2-го порядка к этому многообразию вертикальными векторами к расслоению линейных реперов над этим многообразием.

Abstract

This paper relates to differential geometry, and the research technique is based on G. F. Laptev’s method of extensions and envelopments, which generalizes E. Cartan’s method of moving frame and exterior forms. We consider a smooth m-dimensional manifold, its tangent and cotangent spaces, as well as the second-order frames and coframes on this manifold. Using the perturbation of the exterior derivative and ordinary diffe­ren­tial, mappings are introduced that enable us to construct non-sym­met­rical second-order frames and coframes on a smooth manifold. It is shown that the extension of the second order tangent space to a smooth m-dimen­sional manifold is carried out by adding the vertical vectors to the linear frame bundle over the manifold to the second order tangent vectors to this manifold. A deformed external differential is widely used, which is a differen­tial, i. e., its reapplication vanishes. We introduce a deformed external dif­ferential being a differential along the curves on the manifold, i. e., its re­peated application along the curves on the manifold gives zero.

Список литературы

1.  Аньар Г. Неравенства Морса (по Виттену) / пер. с фр. И. С. За­харевича // Математический анализ и геометрия. Избр. тр. семин. Н. Бурбаки : сб. ст. 1983—1987 гг. М., 1990. Вып. 45. C. 80—101.

2.  Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и рас­слоения. М., 1975.

3.  Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры выс­ших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 139—189.

4.  Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях // Матем. сб. 1966. № 69. С. 419—454.

5.  Петрова Л. И. Кососимметричные дифференциальные формы: Законы сохранения. Основы теории поля. М., 2006.

6.  Полякова К. В. Обобщение внешнего дифференциала с помо­щью виртуальной функции // ДГМФ. Калининград, 2010. Вып. 41. С. 111—117.

7.  Полякова К. В. Тангенциальнозначные формы 2-го порядка // Матем. заметки. 2019. Т. 105, № 1. С. 84—94.

8.  Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981.Т. 29, № 2. С. 279—290.

9.  Рыбников А. К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Математика. 1983. № 1. С. 73—80.

10.  Солодов Н. В. Бивариантные когомологии с симметриями : дис. … канд. физ.-мат. наук. М., 2003.

11.  Ho F.-H. Witten deformation and its application toward Morse inequalities. arXiv:1710.09579v1

12.  Petrova L. Evolutionary Relation of Mathematical Physics Equa­tions Evolutionary Relation as Foundation of Field Theory Interpretation of the Einstein Equation // Axioms. 2021. Vol. 10, № 46. doi: https://doi. org/10.3390/axioms10020046.

13.  Petrova L. I. Skew-symmetric differential forms. Conservation laws: The foundation of equations of mathematical physics and field theory. M., 2021.

14.  Polyakova K. V. Prolongations generated by horizontal vectors // J. Geom. 2019. Vol. 110, № 53. doi: https://doi.org/10.1007/s00022-019- 0510-2.

15.  Witten E. Supersymmetry and Morse theory // J. Differential Geom. 1982. Vol. 17, № 4. P. 661—692.

16.  Witten E. A new look at the path integral of quantum mechanics. arXiv:1009.6032v1.