Поиск
Подать статью EN
Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Текущий выпуск

Назад к списку Скачать статью
Кулешов А.В.

О структурных формах проективной структуры

DOI
10.5922/0321-4796-2022-53-7
Страницы / Pages
68-83
гладкое многообразие фактор-репер расслое­ние реперов проективная структура дифференциально-геометри­че­ская структура структурные формы структурные уравнения smooth manifold quotient frame frame bundle projective structure differential geometric structure structure forms structure equa­tions

Аннотация

Показано, что проективная структура на гладком мно­гообразии порождает дифференциально-геометри­че­ские структуры 2-го, 3-го и т. д. порядков над рассло­ением фактор-реперов данного гладкого многообразия. Постро­ены структурные формы и выведены структур­ные урав­нения данной структуры.

Abstract

A projective structure on a smooth manifold is a maximal atlas such that all its transition maps are the fractional linear transformations. Our aim is to interpret this notion in terms of the higher order frame bundles and their structure forms. It is shown that the projective structure gener­ates the sequence of differential geometric structures. The construction is following: Step 1. For a smooth manifold the so-called quotient frame bundle as­sociated to the 2nd order frame bundle on the manifold is constructed. Step 2. Given projective structure on the manifold, the mappings from the quotient frame bundle to the higher order frame bundles are con­structed. These mappings are the differential geometric structures. Step 3. The pullbacks of the structure forms of the frame bundles via the mappings are considered. These are called structure forms of the pro­jective structure. The expressions of their exterior differentials in terms of the forms themselves are found. These expressions coincide with the structure equations of a projective space.

Список литературы

1. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многооб­разиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.

2. Кулешов А. В. Центропроективные реперы как классы эквива­лентности реперов второго порядка // ДГМФ. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 94—107.

3. Овсиенко В. Ю., Табачников С. Л. Проективная дифференци­альная геометрия. Старое и новое: от производной Шварца до кого­мологий групп диффеоморфизмов. М., 2008.

4. Eisenhart L. P. Non-Riemannian Geometry. N. Y., 1927.

5. Whitehead J. M. C. Locally homogeneous spaces in differential ge­ometry // Ann. Math. 1932. Vol. 33, № 4. P. 681—687.

6. Ehresmann, C. Sur les espaces localement homogènes. L’Enseign // Math. 1936. Vol. 35. P. 317—333.

7. Choi C., Goldman W. The classification of real projective structu­res on compact surfaces // Bull. Am. Math. Soc., 1997. Vol. 34. P. 161—171.

8. Cooper D., Goldman W. A 3-Manifold with no Real projective structure. http://arxiv.org/abs/1207.2007.

9. Овсиенко В. Ю. Проективные структуры и контактные формы // Функциональный анализ и его приложения. 1994. Т. 28, № 3. С. 187—197.

10. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной гео­метрии. М., 1986.

11. Кулешов А. В. Об эквивалентности двух точек зрения на цен­тро­проективные реперы // ДГМФ. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 60—65.