Текущий выпуск

Числа Тачибаны замкнутых многообразий с защемленной отрицательной секционной кривизной

DOI

10.5922/0321-4796-2020-51-13

Страницы / Pages

116-122

Аннотация

Конформная форма Киллинга является естественным обобщени-ем конформного векторного поля Киллинга. Эти формы широко изу-чались многими геометрами, что было мотивировано существо-ванием различных приложений для этих форм. Векторное пространство конформных p-форм Киллинга имеет на замкнутом n-мерном   римановом многообразии М конечную размерность  , называемую числом Тачибана. Эти числа являются кон-формными скалярными инвариантами многообразия и удовлетворяют теореме двойственности  .
В данной статье мы доказываем две «теоремы исчезновения». В соответствии в первой теоремой не существует ненулевых чисел Тачибаны на n-мерном   замкнутом римановом многообразии с защемленной отрицательной секционной кривизной такой, что   для постоянной  . Согласно второй тео-реме не существует ненулевых чисел Тачибаны на трехмерном за-мкнутом римановом многообразии с отрицательной секционной кривизной.

Abstract

Conformal Killing form is a natural generalization of con­formal Killing vector field. These forms were exten­si­vely studied by many geometricians. These considerations we­re motivated by existence of various applications for the­se forms. The vector space of conformal Killing p-forms on an n-dimensional closed Riemannian mani­fold M has a finite dimension na­med the Tachibana number. These numbers are conformal scalar invariant of M and satisfy the duality theorem: . In the present article we prove two vanishing theorems. According to the first theorem, there are no nonzero Tachi­bana numbers on an n-dimensional closed Rie­mannian manifold with pinched negative sectional curva­ture such that for some pinching con­stant . From the second theorem we conc­lude that there are no nonzero Tachibana numbers on a three-dimensional closed Riemannian manifold with ne­gative sectional curvature.

Список литературы

1. Kashiwada T. On conformal Killing tensor // Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1968. Vol. 19, № 2. Р. 67—74.
2. Tachibana S. On conformal Killing tensor in a Riemannian space // Tohoku Math. J. 1969. № 21. Р. 56—64.
3. Benn M., Charlton P. Dirac symmetry operators from conformal Killing — Yano tensors // Class. Quantum Grav. 1997. № 14. Р. 1037—1042.
4. Stepanov S. E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field // J. of Geom. and Phys. 2000. Vol. 33, № 3-4. P. 191—209.
5. Stepanov S. E., Mikeš J. Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds // Diff. Geom. and its Appl. 2013. Vol. 31, № 4. P. 486—495.
6. Stepanov S. E. Curvature and Tachibana numbers // Mat. Sb. 2011. Vol. 202, № 7. P. 135—146.
7. Stepanov S. E., Tsyganok I. I. Theorems of existence and of vanish­ing of conformally killing forms // Russian Mathematics. 2014. Vol. 58, № 10. Р. 46—51.
8. Bourguignon J. P., Karcher H. Curvature operators: pinching esti­mates and geometric examples // Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. Paris. 1978. № 11. Р. 79—92.
9. Gromov M., Thurston W. Pinching constants for hyperbolic mani­folds // Invent. Math. 1987. № 89. Р. 1—12.
10. Berger M., Ebin D. Some decompositions of the space of sym­metric tensors on a Riemannian manifold // J. Diff. Geom. 1969. № 3. Р. 379—392.
11. Rovenski V., Stepanov S. E., Tsyganok I. I. On the Betti and Tachibana numbers of compact Einstein manifolds // Mathematics. 2019. Vol. 7, № 12. Р. 1210.
12. Hamilton R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature // J. Diff. Geom. 1982. № 17. Р. 255—306.

Reference

1. Kashiwada, T.: On conformal Killing tensor. Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., 19:2, 67—74 (1968).
2. Tachibana, S.: On conformal Killing tensor in a Riemannian space. To­hoku Math. J., 21, 56—64 (1969).
3. Benn, M., Charlton, P.: Dirac symmetry operators from conformal Kil­ling — Yano tensors. Class. Quantum Grav., 14, 1037—1042 (1997).
4. Stepanov, S. E.: On conformal Killing 2-form of the electromagne­tic field. J. of Geom. and Phys., 33:3-4, 191—209 (2000).
5. Stepanov, S. E., Mikeš, J.: Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds. Diff. Geom. and its Appl., 31:4, 486—495 (2013).
6. Stepanov, S. E.: Curvature and Tachibana numbers. Sb. Math., 202:7, 135—146 (2011).
7. Stepanov, S. E., Tsyganok, I. I.: Theorems of existence and of vani­shing of conformally Killing forms. Russian Mathematics, 58:10, 46—51 (2014).
8. Bourguignon, J. P., Karcher, H.: Curvature operators: pinching es­ti­mates and geometric examples. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. Paris, 11, 71—92 (1978).
9. Gromov, M., Thurston, W.: Pinching constants for hyperbolic mani­folds. Invent. Math., 89, 1—12 (1987).
10. Berger, M., Ebin, D.: Some decompositions of the space of sym­metric tensors on a Riemannian manifold. J. Diff. Geom., 3, 379—392 (1969).
11. Rovenski, V., Stepanov, S. E., Tsyganok, I. I.: On the Betti and Tachibana numbers of compact Einstein manifolds. Mathematics, 7:12, 1210 (2019).
12. Hamilton, R. S.: Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Diff. Geom., 17, 255—306 (1982).