Текущий выпуск

Продолжения аффинной связности и горизон­тальных векторов

DOI

10.5922/0321-4796-2020-51-11

Страницы / Pages

86-102

Аннотация

Рассмотрено расслоение линейных реперов над глад­ким многообразием. Отображение dе, определяе­мое диф­ференциалами векторов репера е 1-го порядка, яв­ля­ется лифтом в нормаль N, то есть пространство, до­пол­няющее касательное пространство 1-го порядка до ка­сательного пространства 2-го порядка к этому рас­сло­ению. В частности, отображение, определяемое диф­ференциалами вертикальных векторов этого репера, яв­ляется вертикальным лифтом в нормаль N. Нормаль­ный (вертикальный) лифт определяет нормальное (вер­ти­каль­ное) продолжение касательного пространства (то есть нормаль N) и его вертикального подпространства. Дифференциал произвольного векторного поля на рас­слоении линейных реперов является полным лифтом из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка к этому расслоению.
На расслоении базисные горизонтальные векторы играют двойную роль: во-первых, они служат операто­рами ковариантного дифференцирования геометриче­ских объектов на расслоении; во-вторых, дифференци­алы этих геометрических объектов можно рассматри­вать как формы, значения которых на базисных гори­зонтальных векторах дают ковариантные производные этих геометрических объектов.
Для объектов, ковариантные производные которых требуют привлечения связности 2-го порядка, ковари­антные производные равны значениям дифференциалов этих объектов на горизонтальных векторах в продол­женной аффинной связности. Построены продолжения горизонтальных векторов, то есть горизонтальные век­торы 2-го порядка для продолженной связности. Каса­тельное пространство 2-го порядка представлено в виде прямой суммы касательного пространства 1-го порядка, вертикальных продолжений вертикального и горизон­тального подпространств, горизонтального продолже­ния горизонтального подпространства.

Abstract

The linear frame bundle over a smooth manifold is considered. The mapping dе defined by the differentials of the first-order frame e is a lift to the normal N, i. e., a space complementing the first-order tangent space to the second-order tangent space to this bundle. In particular, the map­ping defined by the differentials of the vertical vector of this frame is a vertical lift into normal N. The lift dе allows us to construct a prolongation both of the tangent space and its vertical subspace into the second-order tangent space, more precisely into the normal N. The normal lift dе defines the normal prolon­gation of the tangent space (i. e. the normal N) and its vertical subspace. The vertical lift defines the vertical prolongation of the tangent space and its vertical subspace. The differential of an arbitrary vector field on the linear frame bundle is a complete lift from the first-order tangent space to the second-order tangent space to this bundle. It is known that the action of vector fields as differential operators on functions coincides with action of the differentials of these functions as 1-forms on these vector fields. Horizontal vectors played a dual role in the fibre bundle. On the one hand, the basic horizontal vectors serve as opera­tors for the covariant differentiation of geometric objects in the bundle. On the other hand, the differentials of these geometric objects can be con­sidered as forms (including tangential-valued ones) and their values on basic horizontal vectors give covariant derivatives of these geometric ob­jects. For objects which covariant derivatives require the second-order con­nection, the covariant derivatives are equal to the values of the differen­tials of these objects on horizontal vectors in prolonged affine connectivi­ty. Prolongations of the basic horizontal vectors, i. e., the second-order horizontal vectors for prolonged connection, were constructed. The sec­ond-order tangent space is represented as a straight sum of the first-order tangent space, vertical prolongations of the vertical and horizontal sub­spaces, and horizontal prolongation of the horizontal subspace.

Список литературы

1.  Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
2.  Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и рас­слоения. М., 1975.
3.  Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры выс­ших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИ­ТИ. М., 1966. Т. 1. С.139—189.
4.  Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // ДГМФ. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 114—128.
5.  Полякова К. В. О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков // ДГМФ. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 108—125.
6.  Полякова К. В. О действии структурной группы главного рас­слоения в его касательном пространстве // ДГМФ. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 73—85.
7.  Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки, 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279—290.
8.  Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связно­сти в главном расслоении // ДГМФ. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
9.  Janyska J., Kolář I. On the connections naturally induced on the second order frame bundle // Archivum Mathematicum. 1986. Vol. 22, № 1. Р. 21—28.
10.  Kolář I., Vitolo R. Absolute contact differentiation on submani­folds of Cartan space // Diff. Geom. and its Appl. 2010. Vol. 28, iss. 1. P. 19—32.
11.  Polyakova K. V. Prolongations generated by horizontal vectors // J. Geom. 2019. № 110. P. 53.

Reference

1. Evtushik, L. E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N. M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
2. Sulanke, R., Wintgen, P.: Differentialgeometrie und faserbundel. Birkhauser, Basel (1972).
3. Laptev, G. F.: Fundamental infinitesimal structures of higher orders on a smooth manifold. Tr. Geom. Sem., 1, 139—189 (1966).
4. Polyakova, K. V.: Special affine connection of the 1st and 2nd or­ders. DGMF. Kaliningrad. 46, 114—128 (2015).
5. Polyakova, K. V.: Vector-valued forms of the 1st, 2nd and 3rd orders for affine connection of the 2nd order. DGMF. Kaliningrad. 47, 108—125 (2016).
6. Polyakova, K. V.: On action of structure group of principal fibre bundle in its tangent space. DGMF. Kaliningrad. 48, 73—85 (2017).
7. Rybnikov, A. K.: Affinee connections of second order. Math. Notes, 29:2, 143—149 (1981).
8. Shevchenko, Yu. I.: Laptev and Lumiste methods for the specica­tion of a connection in a principal bundle. DGMF. Kaliningrad. 37, 179—187 (2006).
9. Janyska, J., Kolář, I.: On the connections naturally induced on the second order frame bundle. Archivum Mathematicum, 22:1, 21—28 (1986).
10.   Kolář, I., Vitolo, R.: Absolute contact differentiation on submani­folds of Cartan space. Differential Geometry and its Applications, 28:1, 19—32 (2010).
11.   Polyakova, K. V.: Prolongations generated by horizontal vectors. J. Geom., 110, 53 (2019).