2023 Выпуск 54(1)

Гиперполосное распределение, оснащенное полем сопряженных плоскостей

DOI

10.5922/0321-4796-2023-54-1-8

Страницы / Pages

78-91

Аннотация

Рассматривается гиперполосное распределение аф­финного пространства, оснащенное полем сопряжен­ных плоскостей относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности. Приведено задание изучаемого гиперполосного распределения в аффинном пространстве относительно репера 1-го порядка и дока­зана теорема существования. Построены инвариантные поля геометрических объектов 1-го и 2-го порядка. В дифференциальной окрестности 2-го порядка построе­ны поля нормалей Трансона 1-го и 2-го рода. Найдены условия совпадения нормалей Трансона и нормалей Бляшке.

Abstract

In this paper, we study a special class of hyperbands, i. e., a framed hyperband distribution. The study of hyperbands and their generalizations in spaces with different fundamental groups is of great interest in connec­tion with numerous applications in mathematics and physics. A special place is occupied by regular hyperstrips, for which the characteristic planes of families of principal tangent hyperplanes do not contain direc­tions tangent to the basal surface of the hyperstrip. In this paper, we use the method of external differential forms of E. Cartan and the group-theoretic method of G. F. Laptev. We consider a regular hyperband distribution of an affine space equipped with a field of conjugate planes with respect to an asymptotic bundle of tensors of the basic surface. The definition of the studied hy­perband distribution in the affine space with respect to the 1st order frame is given and the existence theorem is proved. A sequence of fundamental geometric objects of the 1st and 2nd order of a hyperband distribution equip­ped with a field of conjugate planes is constructed. Fields of qua­sitensors are constructed that define the fields of normals of the first kind of the distribution of the characteristics of the hyperband distribution. In a differential neighborhood of the 2nd order, the fields of Transon normals of the 1st and 2nd kind are constructed. The conditions for the coincidence of the Transon normal and the Blaschke normal are found.

Список литературы

1. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных си­стем // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.

2. Акивис М. А., Розенфельд Б. А. Эли Картан (1869—1951). М., 2014.

3. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М., 1957.

4. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семин. по векторнрму и тензорному анализу. М., 1950. Вып. 8. С. 197—272.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных мно­го­образий. Теоретико-групповой метод дифференциально-гео­мет­ри­че­ских исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

6. Лисицына И. Е. Нормализация Тренсона гиперполосы Н_m аф­фин­ного пространства // ДГМФ. 1998. Вып. 29. С. 38—40.

7. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 4. С. 7—70.

8. Попов Ю. И. Гиперполосное распределение аффинного про­странства // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2021. Т. 203. С. 84—99.

9. Попов Ю. И. Гиперполосные распределения аффинного про­странства. Калининград, 2021.

10. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского фе­дерального университета им. И. Канта. 2013. № 10. С. 49—56.

11. Попов Ю. И. Специальные классы гиперполосного распреде­ления аффинного пространства. Калининград, 2021.

12. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полос // Про­блемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 25—54.

13. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия ре­гу­лярного гиперполосного распределения m-мерных линейных эле­мен­тов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

14. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в диффренци­альной геометрии. М. ; Л., 1948.

15. An-Min L., Udo S., Guosong Zh., Zejun H. Global Affine Diffe­ren­tial Geometry of Hypersurfaces. De Gruyter, 2015 (Expositions in Ma­the­matics ; vol. 11).

16. Ivey Th. A., Landsberg J. M. Cartan for Beginners: Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems. Amer. Math. Society, 2003 (Graduate Studies in Mathematics ; vol. 61).