К геометрии субримановых многообразий, оснащенных канонической четверть-симметрической связностью
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2023-54-1-7
- Страницы / Pages
- 64-77
Аннотация
В настоящей статье под субримановым многообразием контактного типа понимается риманово многообразие, оснащенное регулярным распределением коразмерности один и ортогональным этому распределению единичным векторным полем, называемым структурным векторным полем. На субримановом многообразии контактного типа определяется четверть-симметрическая связность, ассоциируемая с эндоморфизмом, сохраняющим распределение субриманова многообразия. Доказывается, что в случае метричности изучаемой связности ассоциируемый с ней эндоморфизм определен однозначно. Находится строение ассоциируемого эндоморфизма. В случае, когда структурное векторное поле представляет собой поле инфинитезимальных изометрий, четверть-симметрическая связность получает название канонической N-связности. Находится выражение тензора кривизны канонической N-связности через тензор кривизны Римана. Исследуются свойства тензора кривизны Схоутена, обеспечивающие, в частности, необходимые симметрии тензора кривизны
N-связности для корректного определения ее секционной кривизны. Найдена связь секционной кривизны канонической N-связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты. Находятся необходимые и достаточные условия для совпадения секционной кривизны N-связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты.
Abstract
In this article, a sub-Riemannian manifold of contact type is understood as a Riemannian manifold equipped with a regular distribution of codimension-one and by a unit structure vector field orthogonal to this distribution. This vector field is called a structural. On a sub-Riemannian manifold of contact type, a quarter-symmetric connection is defined, which is associated with an endomorphism that preserves the distribution of the sub-Riemannian manifold. It is proved that if the connection under study is metric, then the endomorphism associated to it is uniquely defined. The structure of the associated endomorphism is found. In the case when the structure vector field is a field of infinitesimal isometries, the quarter-symmetric connection is called the canonical N-connection. An expression is found for the curvature tensor of the canonical N-connection in terms of the Riemann curvature tensor. The properties of the Schouten curvature tensor are investigated, which provide, in particular, the necessary symmetries of the curvature tensor of an N-connection for its sectional curvature to be well-defined. A relation between the sectional curvature of the canonical N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection is found. Necessary and sufficient conditions are found under which the sectional curvature of the N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection coincide.
Список литературы
1. Букушева А. В. О геометрии многообразий Кенмоцу с N-связностью // ДГМФ. 2019. Вып. 50. C. 48—60.
2. Букушева А. В. Неголономные многообразия Кенмоцу, оснащенные обобщенной связностью Танаки — Вебстера // ДГМФ. 2021. № 52. С. 42—51.
3. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.
4. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с
-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 258—263.
5. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, № 3. С. 53—63.
6. Галаев С. В., Гохман А. В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. № 3. С. 28—31.
7. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П. О секционной кривизне связностей с векторным кручением // Изв. вузов. Матем. 2020. № 6. С. 86—92.
8. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46. P. 130—146.
9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure App. Math. 1985. Vol. 16, iss. 7. P. 736—740.
10. Biswas S. C., De U. C. Quarter-symmetric metric connection in an SP-Sasakian manifold // Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Series А1. 1997. Vol. 46. P. 49—56.
11. Cartan E. Sur les varieties a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II // Ann. Ec. Norm. 1925. Vol. 42. P. 17—88.
12. Galaev S. V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31, № 1. P. 35—46.
13. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor. New series. 1975. Vol. 29. P. 249—254.
14. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. Vol. 15. P. 1579—1586.
15. Yano K., Imai T. Quarter-symmetric metric connections and their curvature tensors // Tensor. New series. 1982. Vol. 38. P. 13—18.