Числа Тачибаны замкнутых многообразий с защемленной отрицательной секционной кривизной
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2020-51-13
- Страницы / Pages
- 116-122
Аннотация
Конформная форма Киллинга является естественным обобщени-ем конформного векторного поля Киллинга. Эти формы широко изу-чались многими геометрами, что было мотивировано существо-ванием различных приложений для этих форм. Векторное пространство конформных p-форм Киллинга имеет на замкнутом n-мерном римановом многообразии М конечную размерность , называемую числом Тачибана. Эти числа являются кон-формными скалярными инвариантами многообразия и удовлетворяют теореме двойственности .
В данной статье мы доказываем две «теоремы исчезновения». В соответствии в первой теоремой не существует ненулевых чисел Тачибаны на n-мерном замкнутом римановом многообразии с защемленной отрицательной секционной кривизной такой, что для постоянной . Согласно второй тео-реме не существует ненулевых чисел Тачибаны на трехмерном за-мкнутом римановом многообразии с отрицательной секционной кривизной.
Abstract
Conformal Killing form is a natural generalization of conformal Killing vector field. These forms were extensively studied by many geometricians. These considerations were motivated by existence of various applications for these forms. The vector space of conformal Killing p-forms on an n-dimensional closed Riemannian manifold M has a finite dimension named the Tachibana number. These numbers are conformal scalar invariant of M and satisfy the duality theorem: . In the present article we prove two vanishing theorems. According to the first theorem, there are no nonzero Tachibana numbers on an n-dimensional closed Riemannian manifold with pinched negative sectional curvature such that for some pinching constant . From the second theorem we conclude that there are no nonzero Tachibana numbers on a three-dimensional closed Riemannian manifold with negative sectional curvature.
Список литературы
1. Kashiwada T. On conformal Killing tensor // Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1968. Vol. 19, № 2. Р. 67—74.
2. Tachibana S. On conformal Killing tensor in a Riemannian space // Tohoku Math. J. 1969. № 21. Р. 56—64.
3. Benn M., Charlton P. Dirac symmetry operators from conformal Killing — Yano tensors // Class. Quantum Grav. 1997. № 14. Р. 1037—1042.
4. Stepanov S. E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field // J. of Geom. and Phys. 2000. Vol. 33, № 3-4. P. 191—209.
5. Stepanov S. E., Mikeš J. Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds // Diff. Geom. and its Appl. 2013. Vol. 31, № 4. P. 486—495.
6. Stepanov S. E. Curvature and Tachibana numbers // Mat. Sb. 2011. Vol. 202, № 7. P. 135—146.
7. Stepanov S. E., Tsyganok I. I. Theorems of existence and of vanishing of conformally killing forms // Russian Mathematics. 2014. Vol. 58, № 10. Р. 46—51.
8. Bourguignon J. P., Karcher H. Curvature operators: pinching estimates and geometric examples // Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. Paris. 1978. № 11. Р. 79—92.
9. Gromov M., Thurston W. Pinching constants for hyperbolic manifolds // Invent. Math. 1987. № 89. Р. 1—12.
10. Berger M., Ebin D. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold // J. Diff. Geom. 1969. № 3. Р. 379—392.
11. Rovenski V., Stepanov S. E., Tsyganok I. I. On the Betti and Tachibana numbers of compact Einstein manifolds // Mathematics. 2019. Vol. 7, № 12. Р. 1210.
12. Hamilton R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature // J. Diff. Geom. 1982. № 17. Р. 255—306.
Reference
1. Kashiwada, T.: On conformal Killing tensor. Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., 19:2, 67—74 (1968).
2. Tachibana, S.: On conformal Killing tensor in a Riemannian space. Tohoku Math. J., 21, 56—64 (1969).
3. Benn, M., Charlton, P.: Dirac symmetry operators from conformal Killing — Yano tensors. Class. Quantum Grav., 14, 1037—1042 (1997).
4. Stepanov, S. E.: On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field. J. of Geom. and Phys., 33:3-4, 191—209 (2000).
5. Stepanov, S. E., Mikeš, J.: Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds. Diff. Geom. and its Appl., 31:4, 486—495 (2013).
6. Stepanov, S. E.: Curvature and Tachibana numbers. Sb. Math., 202:7, 135—146 (2011).
7. Stepanov, S. E., Tsyganok, I. I.: Theorems of existence and of vanishing of conformally Killing forms. Russian Mathematics, 58:10, 46—51 (2014).
8. Bourguignon, J. P., Karcher, H.: Curvature operators: pinching estimates and geometric examples. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. Paris, 11, 71—92 (1978).
9. Gromov, M., Thurston, W.: Pinching constants for hyperbolic manifolds. Invent. Math., 89, 1—12 (1987).
10. Berger, M., Ebin, D.: Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold. J. Diff. Geom., 3, 379—392 (1969).
11. Rovenski, V., Stepanov, S. E., Tsyganok, I. I.: On the Betti and Tachibana numbers of compact Einstein manifolds. Mathematics, 7:12, 1210 (2019).
12. Hamilton, R. S.: Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Diff. Geom., 17, 255—306 (1982).