2020 Выпуск 51

Центрированные плоскости в пространстве про­ективной связности

DOI

10.5922/0321-4796-2020-51-4

Страницы / Pages

29-38

Аннотация

В пространстве проективной связности Картана ис­следуется пространство  П* центрированных m-мерных плоскостей. В присоединенном главном расслоении G (П*) способом Лаптева — Лумисте задается связ­ность. Найдены дифференциальные сравнения компо­нент объекта связности. Показано, что объект группо­вой связности образует квазитензор, содержащий четы­ре подквазитензора, которые задают связности в соот­ветствующих фактор-расслоениях.

Abstract

The space of centered planes is considered in the Cartan projec­ti­ve connection space . The space is important because it has con­nec­tion with the Grassmann manifold, which plays an important role in geometry and topology, since it is the basic space of a universal vector bundle. The space is an n-dimensional differentiable manifold with each point of which an n-dimensional projective space containing this point is associated. Thus, the manifold is the base, and the space is the n-dimensional fiber “glued” to the points of the base. A projective space is a quotient space of a linear space with respect to the equivalence (collinearity) of non-zero vectors, that is . The projective space is a manifold of di­men­sion n. In this paper we use the Laptev — Lumiste invariant analytical meth­od of differential geometric studies of the space of centered planes and introduce a fundamental-group connection in the associated bundle . The bundle contains four quotient bundles. It is show that the connection object is a quasi-tensor containing four subquasi-tensors that define connections in the corresponding quotient bundles.

Список литературы

1. Акивис М. А., Розенфельд Б. А. Эли Картан (1869–1951). М., 2014.
2. Башашина К. В. Пространство проективной связности Картана как главное расслоение без связности // Классическая и современная геометрия : матер. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рож­дения В. Т. Базылева. М., 2019. С. 57—59.
3. Башашина К. В. Тензорность объекта кривизны связности в главном расслоении пространства проективной связности Картана // ДГМФ. Калининград, 2019. № 50. С. 36—40.
4. Близникас В. И. О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 115—124.
5. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
6. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линей­ных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 49—94.
7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообра­зий. Чебоксары, 1994.
8. Шевченко Ю. И. Иерархия пространств проективной связности // ДГМФ. Калининград, 2018. № 49. С. 178—192.
9. Шевченко Ю. И. Центропроективная связность в пространстве проективной связности Картана // ДГМФ. Калининград, 2005. № 36. С. 154—160.
10. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds // North-Holland Mathematical Library. Vol. 49. Amster­dam, 1993.
11. Belova O. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centered planes // Journal of Mathematical Sci­ences (New York). 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.
12. Benini F. Basics of Differential Geometry & Group Theory : PhD thesis / SISSA. Trieste, 2018.
13. Scholz E. H. Weyl’s and E. Cartan’s proposals for infinitesimal geo­metry in the early 1920s. University Wuppertal, 2010.

Reference

1. Akivis, M.A., Rosenfeld, B.A.: Eli Cartan (1869—1951). Moscow (2014).
2. Bashashina K.V. The space of projective connection of Cartan as the principal bundle without connection. Classical and modern geometry. Materials of the international conference dedicated to the centenary of V.T. Bazylev’s birth. Moscow. 57—59 (2019).
3. Bashashina K.V. Curvature tensor of connection in principal bundle of Cartan's projective connection space. DGMF. Kaliningrad. 50,
36—40 (2019).
4. Bliznikas V.I. A non-holonomic surface of a three-dimensional space with projective connection // Tr. Geom. Sem., 3, 115—124 (1971).
5. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu.G., Ostianu, N. M., Shirokov, A.P.:Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
6. Laptev G.F., Ostianu N.M. Distributions of m-dimensional line elements in a space with projective connection. I. Tr. Geom. Sem., 3, 49—94
(1971).
7. Stolyarov A.V. The dual theory of equipped manifolds. Cheboksary (1994).
8. Shevchenko, Yu. I.: Hierarchy of spaces of projective connection. DGMF. Kaliningrad. 49, 178—192 (2018).
9. Shevchenko, Yu.I.: Centro-projective connection in Cartan’s projective connection space. DGMF. Kaliningrad. 36, 154—160 (2005).
10. Akivis, M.A., Goldberg, V.V.: Projective differential geometry of submanifolds. In North-Holland Mathematical Library. Amsterdam. 49 (1993).
11. Belova, О.: Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes. J. Math. Sci. (New York), 162:5, 605—632 (2009).
12. Benini, F.: Basics of Differential Geometry & Group Theory. PhD thesis. SISSA. Trieste (2018).
13. Scholz, E.: H. Weyl’s and E. Cartan’s proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal (2010).