Метрики пространства с линейной связностью, не являющейся полусимметрической
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2020-53-14
- Страницы / Pages
- 148-160
Аннотация
Хорошо известно построение Леви-Чивиты объекта аффинной связности (в современной терминологии — линейной связности) по полю невырожденной метрики на гладком многообразии. Обратная задача (построение метрики по заданной линейной связности) решается неоднозначно, причем метрика может оказаться вырожденной и неопределенной. С одной стороны, две отличающиеся знаком метрики строятся очевидно — путем сворачивания тензора кривизны с последующим симметрированием. С другой стороны, метрика Врэнчану представляет собой двойную свертку произведений компонент тензора кручения. В настоящей статье обратная задача Леви-Чивиты решена иначе с помощью поля объекта связности.
Доказано, что в общем случае, когда линейная связность не является полусимметрической, можно построить шесть метрик. В особом случае, когда линейная связность полусимметрична (в частности, без кручения), построенные метрики обращаются в нуль.
Исследование проведено на полуголономном гладком многообразии с помощью двух продолжений его структурных уравнений. Использован способ Лаптева — Лумисте задания связности в главном расслоении и обобщения объекта классической проективной связности.
Abstract
It is well-known Levi-Chivita’s construction of object for affine connection (in modern terminology — linear connection) by the field of non-degenerate metric on a smooth manifold. An inverse problem (a construction of metric by given linear connection) is solved ambiguously, besides, the metric may turn out to be degenerate and indefinite. On the one hand, two metrics differing in a sign are obviously build: by curvature tensor contractionwith subsequent symmetrization. Оn the other hand, Vranceanu’s metric is a double contraction of multiplication of a torsion tensor’s components. In this paper Levi-Chivita’s inverse problem is solved in other way using the field of connection object. It is proved that in the general case, when the linear connection is not semi-symmetric, six metrics can be constructed. In the special case, when the linear connection is semi-symmetric (in particular, torsion-free), the constructed metrics vanish. The investigation is done on a semi-holonomic smooth manifold by means of two prolongation its structure equations.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 139—189.
2. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
3. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М., 1960.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. 2-е изд., испр. М., 1976.
5. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда, 1961. Т. 2. Л., 1964. С. 226—233.
6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
7. Veblen O. Generalized projective geometry // J. Lond. Math. Soc. 1929. Vol. 4. P. 140—160.