Одна геометрическая модель дробно-линейных преобразований
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2022-53-8
- Страницы / Pages
- 84-93
Аннотация
Представлена модель дробно-линейных преобразований комплексной плоскости в виде точек комплексного трехмерного проективного пространства без линейной «запрещенной» квадрики. Представлена модель вещественных дробно-линейных преобразований комплексной плоскости в виде точек вещественного трехмерного проективного пространства без линейной «запрещенной» квадрики. Найдено геометрическое разделение точек, соответствующих параболическим, гиперболическим и эллиптическим вещественным дробно-линейным преобразованиям с помощью «параболического» конуса, касающегося запрещенной квадрики. Найдены некоторые свойства точек модели, соответствующих вещественным дробно-линейным преобразованиям, а также преобразованиям фундаментальных групп двусвязных областей комплексной плоскости.
Abstract
A model of linear fractional transformations of the complex plane in the form of points of the complex three-dimensional projective space without a linear “forbidden” quadric is presented. A model of real linear fractional transformations of the complex plane in the form of points of the real three-dimensional projective space without a linear “forbidden” quadric is presented. A geometric separation of points corresponding to parabolic, hyperbolic and elliptic real linear fractional transformations by a “parabolic” cone touching the forbidden quadric is found. Some properties of model points corresponding to real linear fractional transformations are found. Some properties of model points corresponding to fundamental groups transformations of biconnected domains of the complex plane are found.
Список литературы
1. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 1 : Основные понятия и принципы / пер. с рум. И. Берштейна. М., 1962.
2. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1 : Начала теории. 2-е изд., испр. и доп. М., 1967.
3. Евграфов М. А. Аналитические функции : учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М., 1991.
4. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. М., 1976.
5. Needham T. Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts. Princeton, N. J., 2021.
6. Kisil V. V. Geometry of Möbius Transformations: Elliptic, Parabolic and Hyperbolic Actions of SL(2, R). L., 2012.
7. Olsen J. The Geometry of Möbius Transformations. Rochester, 2010.
8. Tsai M. Ch., Gu D. W. Robust and Optimal Control. L., 2014. Part 4 : Linear Fractional Transformations. Р. 65—97.
9. Arnold D. N., Rogness D. Möbius Transformations Revealed // Notices of the AMS. 2008. Vol. 55, № 10. P. 1226—1231.
10. Мациевский С. В. Дробно-линейные преобразования и геометрия Лобачевского. Калининград, 1982. Рукопись.