Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Текущий выпуск

Назад к списку Скачать статью

Квазитензор кривизны-кручения фундамен­тально-групповой связности Лаптева

DOI
10.5922/0321-4796-2020-51-17
Страницы / Pages
156-169

Аннотация

Рассмотрено пространство с фундаментально-груп­по­вой связностью Лаптева, обобщающее пространства со связностями Картана. Структурные уравнения Лап­тева приведены к более простому виду. Продолжение приведенных структурных уравнений позволило найти дифференциальные сравнения для коэффициентов в этих уравнениях. Доказано, что одна часть этих коэф­фициентов образует тензор, а другая часть — квазитен­зор, что обосновывает название «квазитензор кривиз­ны-кручения» для всей совокупности. Из дифференци­альных сравнений для компонент этого квазитензора получены сравнения для компонент тензора кривизны-кручения Лаптева, который содержит 9 подтензоров, входящих в неприведенные структурные уравнения. В двух особых случаях пространство с фундамен­тально-групповой связностью является пространством со связностью Картана, обладающим квазитензором кривизны-кручения, который содержит квазитензор кручения. В редуктивном случае пространство картано­вой связности превращается в такое главное расслоение со связностью, которое имеет не только тензор кривиз­ны, но и тензор кручения.

Abstract

We consider a space with Laptev's fundamental group connection generalizing spaces with Cartan connections. Laptev structural equations are reduced to a simpler form. The continuation of the given structural equations made it possible to find differential comparisons for the coeffi­cients in these equations. It is proved that one part of these coefficients forms a tensor, and the other part forms is quasitensor, which justifies the name quasitensor of torsion-curvature for the entire set. From differential congruences for the components of this quasitensor, congruences are ob­tained for the components of the Laptev curvature-torsion tensor, which contains 9 subtensors included in the unreduced structural equations. In two special cases, a space with a fundamental connection is a spa­ce with a Cartan connection, having a quasitensor of torsion-curvature, which contains a quasitensor of torsion. In the reductive case, the space of the Cartan connection is turned into such a principal bundle with connec­tion that has not only a curvature tensor, but also a torsion tensor.

Список литературы

1. Евтушик Л. Е. Связности Картана и геометрия пространств Кавагути, полученные методом подвижного репера // Геометрия — 3. Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. М., 2002. Т. 30. С. 170—204.
2. Евтушик Л. Е. Структуры высших порядков. М., 2014.
3. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.
5. Лаптев Г. Ф. О многообразиях геометрических элементов с дифференциальной связностью // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, № 1. С. 17—20.
6. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях // Ма­тем. сб. 1966. Т. 69, № 3. С. 434—469.
7. Шевченко Ю. И. Иерархия пространств проективной связно­сти // ДГМФ. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 178—192.
8. Шевченко Ю. И. Тензор кривизны-кручения связности Карта­на // ДГМФ. Калининград, 2019. Вып. 50. С. 155—168.
9. Шевченко Ю. И., Скрыдлова Е. В. Интерпретация связности Картана с помощью двухъярусной главной связности // Соврем. геом. и ее прилож. — 2019 : сб. тр. междунар. науч. конф. Казань, 2019. С. 166—169

Reference

1.  Evtushik, L. E.: Cartan connections and Kawaguchi geometry of spa­ces obtained by the moving frame method, Geometry — 3, Itogi nauki i tekhn. Sovrem. Math. and its app. Theme reviews. Moscow. 30, 170—204 (2002).
 2.  Evtushik, L. E.: Structures of higher orders. Moscow (2014).

 3.  Kobayashi, S.: Transformation groups in differential geometry. Mos­cow (1986).
 4.  Laptev, G. F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs., 2, 275—382 (1953).
 5.  Laptev, G. F.: On manifolds of geometric elements with differential connection. Dokl. Akad. Nauk USSR, 78:1, 17—20 (1950).
 6.  Lumiste, Yu. G.: Connections in homogeneous bundles. Math. Sb., 69, 434—469 (1966).
 7.  Shevchenko, Yu. I.: The hierarchy of spaces of projective connec­tion. DGMF. Kaliningrad. 49, 178—192 (2018).
 8.  Shevchenko, Yu. I.: Curvature-torsion tensor of Cartan connection. DGMF. Kaliningrad. 50, 155—168 (2019).
 9.  Shevchenko, Yu. I., Skrydlova, E. V.: Interpretation of Cartan con­nec­tivity using two-tier principal connectivity. Modern geom. and its app. — 2019. Kazan, 166—169 (2019).