2020 Выпуск №1

Распад слабого разрыва и распространение волн в нелокальной среде с источником

Страницы / Pages

84-96

Аннотация

Рассмотрено пространственно нелокальное волновое уравнение четвертого порядка с источником. Результаты изложены в терминах теории теплопереноса. Производная от функции источника по темпе­ратуре положительная (источник технического происхождения) либо отрицательная (источник, характерный для биологической ткани). Скорость волны (дозвуковая, звуковая, сверхзвуковая) определяется по отношению к скорости распространения тепловых возмущений. Даны примеры точного решения задачи о распаде слабого разрыва темпера­турного поля. Эта задача состоит в следующем. В начальном состоя­нии непрерывное тепловое поле содержит точку, в которой располага­ется слабый разрыв, а именно: здесь терпит разрыв первого рода первая производная по координате. В последующем слабый разрыв распадается на две волны, распространяющиеся в противоположных друг другу направлениях. Подробно обсуждены разнообразные ситуации, при кото­рых происходит возбуждение разбегающихся волн. Источник техниче­ского происхождения: две волны, бегущие с дозвуковой, звуковой либо сверхзвуковой скоростью; неоднородный фон перед волнами является пространственно-периодическим; в отдельном случае неоднородность фона локализована на обеих сторонах слабого разрыва. Источник в био­логической ткани: тепловое поле между волнами есть суперпозиция двух бегущих волн, для которых произведение модулей скоростей пере­мещения равно квадрату скорости распространения тепловых возму­щений. Неоднородный фон перед волнами является пространственно-периодическим и, в частности, представляет собой биения по про­странственной координате. Построен пример распада слабого разрыва, для которого в ходе эволюции во времени в возмущенной области фор­мируется стоячая волна.

Abstract

A spatially non-local fourth-order wave equation with a source is consid­ered. The results are set out in terms of the heat transfer theory. The tempera­ture derivative of the source function is positive (a technical source) or nega­tive (a source in biological tissue). The wave velocity (subsonic, sonic, super­sonic) is determined with respect to the velocity of propagating heat perturba­tions. We give examples of the exact solving the problem of disintegration of a weak discontinuity in the temperature field. This problem is set as follows. In the initial state the continuous thermal field contains a point of a weak discon­tinuity; in that point the first coordinate derivative undergoes a first-order rupture. Further the weak discontinuity disintegrates into two waves which propagate in opposite directions. Initiation of such waves is discussed in de­tail. A technical source: two subsonic, sonic or supersonic waves; the non-uniform space in front of the waves is spatially periodic; in a particular case spatial non-uniformity is localized on both sides of a weak discontinuity. A source in biological tissue: the thermal field between the waves is a superpo­si­tion of two running waves for which the product of velocity moduli is equal to the square of propagating thermal perturbations velocity. The non-uniform space in front of the waves is spatially periodic and is displayed as spatial co­ordinate beating. An example is built for disintegration of a weak discontinui­ty when time evolution in the perturbed region leads to forming a standing wave.

Список литературы

1. Никитенко Н. И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких средах // Инженерно-физический журнал. 2000. Т. 73, № 4. С. 851—859.
2. Глазунов Ю. Т. Вариационный принцип явлений взаимосвязанного тепло- и массопереноса, учитывающий конечную скорость распространения возму­щений // Инженерно-физический журнал. 1981. Т. 40, № 1. С. 134—138.
3. Яворский Н. И. Вариационный принцип для вязкой теплопроводной жид­кости с релаксацией // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 3. С. 3—10.
4. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. Extended Irreversible Thermodynamics. Berlin ; Heidelberg, 2001.
5. Алфимов Г. А. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа «кинк» в пределе слабой нелокальности // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 585—602.
6. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М., 2007.
7. Мамчуев М. О. Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Естественнонаучная сер. 2014. № 7. С. 45—59.
8. Керефов М. А., Геккиева С. Х. Первая краевая задача для неоднородного не­локального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2016. № 4. С. 76—86.
9. Дрегля А. И., Сидоров Н. А. Идентификация динамики внешней силы при моделировании колебаний // Известия Иркутского государственного универ­ситета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 105—112.
10. Pennes H. H. Analysis of tissue and arterial temperature in the resting human forearm // Journal of Appl. Phisiol. 1948. Vol. 1. P. 93—122.
11. Tung M. M., Trujillo М., Lopez Molina J. A. et al. Modelling the heating of bio­logical tissue based on the hyperbolic heat transfer equation // Mathematical and Computer Modelling. 2009. Vol. 50. P. 665—672.
12. Ching-yu Y. Boundary estimation of hyperbolic bio-heat conduction // Int. J. Heat Mass Transfer. 2011. Vol. 54. 2506—2513.
13. Lin S.-Y., Chou T.-M. Numerical analysis of the Pennes bioheat transfer equa­tion on skin surface // Third Int. Conf. of Robot, Vision and Signal Processing. 2015. P. 71—74.
14. Mochnacki B., Ciesielski M., Piasecka-Belhayat A. Numerical solution of the bio-heat transfer equation with uncertain parameters using the sensitivity analysis meth­od // Defect and Diffusion Forum. 2017. Vol. 379. P. 39—47.
15. Шабловский О. Н. Колебания, резонансы и волны в нелокальной среде с источниками // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Кан­та. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 4. С. 5—14.