2020 Выпуск №1

Первый метод Стокса в задаче о волнах на поверхности жидкости конечной глубины

Страницы / Pages

64-75

Аннотация

Получено приближенное решение задачи о строении и характери­стиках стационарной нелинейной периодической волны на поверхности жидкости конечной глубины. Способ решения: сначала упрощаются ки­нематическое и динамическое условия (упрощению динамического усло­вия содействует интеграл Бернулли), вводится интегральный опера­тор типа свертки, определяются четыре функции одной переменной, ос­новной из которых является уровень волны. В результате получены од­но линейное и три квадратичных уравнения, определены и обоснованы условия нулевого среднего для уровня и относительной функции тока, а также условие ортогональности уровня волны основной гармонике. Как у Стокса, неизвестные функции и параметры ищутся в виде разложе­ний по безразмерному волновому числу. Получено нелинейное дисперси­онное соотношение. Выполнен анализ решений. Рассмотрены случаи ко­ротких и длинных волн.

Abstract

An approximate solution of the problem of the structure and characteris­tics of a stationary nonlinear periodic wave on the surface of a liquid of finite depth has been obtained. The solution is as follows: first, the kinematic and dynamic conditions are simplified. The Bernoulli integral contributes to the simplification of the dynamic condition. An integral operator of convolution type is introduced. Four functions of one variable are determined, the main of which is the wave level. One linear and three quadratic equations are ob­tained. The zero mean conditions for the level and the relative function of the current, as well as the condition of orthogonally of the wave level and the fun­damental harmonic, are determined and validated. Like Stokes did, we seek unknown functions and parameters as expansions in a dimensionless wave number. The nonlinear dispersion relation has been obtained. The decision analysis has been completed. The cases of short and long waves have been con­sidered.

Список литературы

1. Scott Russel J. Report on waves // Reports of the Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Science. L., 1845. P. 311—390.
2. Scott Russel J. The Wave of Translation. L., 1885.
3. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Cambr. Trans. 1847. Vol. 8. P. 443—473.
4. Stokes G. G. Math. Phys. Papers. 1880.
5. Shwartz B. Journal of Fluid Mechanics. 1974.
6. Бабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конеч­ной амплитуды // Доклады АН СССР. 1987. Т. 29, № 5. С. 1033—1037.
7. Karabut E. A. An approximation for the highest gravity waves on water of fi­nite depth // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 372. P. 45—70.
8. Карабут Е. А. О суммировании ряда Вайтинга в задаче об уединенной вол­не // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 1. С. 44—54.
9. Карабут Е. А. Высшие приближения теории кноидальных волн // При­кладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41, № 1. С. 92—104.
10. Zaitsev A. A., Rudenko A. I. Stationary waves on the shear stream // Тезисы докладов Междунар. конф. по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К. Г. Якоби. Калининград, 2005. С. 267—268.
11. Зайцев А. А., Руденко А. И. К теории стационарных волн на горизонталь­ном течении с линейным профилем скорости // Прикладная механика и тех­ническая физика. 2006. Т. 47, № 3. С. 43—49.
12. Руденко А. И. Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизон­тальном течении жидкости : автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Калинин­град, 2007.
13. Boussinesq J. Theorie des ondes et des remous qei se propagent // Jour. Math. Pures Appl. 1872. Vol. 17, № 2. P. 55—108.
14. Korteweg D. J., Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. Vol. 39. P. 422—443.
15. Некрасов А. И. О волнах установившегося вида // Известия Иваново-Воз­несенского политехнического института. 1921. № 3. С. 52—65.
16. Levi-Civita T. Determination rigoutruse des ondes irrotationeless d′ampleur finite // Mathematical Annales. 1925. Vol. 93. P. 264—313.
17. Красовский Ю. П. Теория установившихся волн конечной амплитуды // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1. С. 836—855.
18. Тер-Крикоров А. М. Существование периодических волн, вырождающих­ся в уединенную // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 4. С. 622—636.
19. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1984.
20. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М., 1988.
21. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные пробле­мы теории нелинейных поверхностных и внутренних волн. Новосибирск, 1985.