1 + 1-мерные уравнения Янга — Миллса и масса через квазиклассическую поправку к действию
Аннотация
Двумерные модели Янга — Миллса в псевдоевклидовом пространстве рассматриваются с точки зрения одного класса нелинейных уравнений Клейна — Гордона — Фока. Показано, что уменьшение Нама не работает, предложен и исследован другой, новый выбор. Квазиклассическое квантование моделей основано на построении интеграла по траекториям Фейнмана — Маслова и представлении его дзета-функции в виде диагональной функции Грина для уравнения вспомогательной теплоты с эллиптическим потенциалом. При естественной перенормировке используется свобода выбора состояния вакуума, а также выбор нормы собственных векторов оператора эволюции. Ненулевая масса появляется как квазиклассическая поправка, которая выражается через гиперэллиптический интеграл.
Abstract
Two-dimensional Yang — Mills models in a pseudo-euclidean space are considered from a point of view of a class of nonlinear Klein — Gordon — Fock equations. It is shown that the Nahm reduction does not work, another, novel choice is proposed and investigated. A quasiclassical quantization of the models is based on Feynmann — Maslov path integral construction and its zeta function representation in terms of a Green function diagonal for an auxiliary heat equation with an elliptic potential. The natural renormalization use a freedom in vacuum state choice as well as the choice of the norm of an evolution operator eigenvectors. A nonzero mass appears as the quasiclassical correction, that is expressed via hyperelliptic integral.
Список литературы
1. Savvidy G. K. The Yang — Mills Classical Mechanics as a Kolmogorov K-system // Phys. Letts. B. 1983. Vol. 130, iss. 5. P. 303—307.
2. Faddeev L. D.,Slavnov A. A. Gauge Fields: An Introduction To Quantum Theory. Westview Press, 1993.
3. Baseyan G. Z., Matinyan S. G., Savvidi G. K. Non-Linear Plane Waves in the Massless Yang — Mills Theory // Pis'ma ZETP. 1979. Vol. 29, iss. 10. P. 641—644.
4. Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman Diagrams for the Yang — Mills Field // Phys. Lett. B. 1967. Vol. 25, iss. 1. P. 29—30.
5. Nikolaevskii E. S., Schur L. N. Non-Integrability of the Classical Yang — Mills Fields // JETP Letts. 1982. Vol. 36, iss. 5. P. 2018—221.
6. Corrigan E., Wainwright P. R., Wilson S. M. J. Comments on the Non-Self-Dual Nahm Equations // Commun. Math. Phys. 1985. Vol. 98. P. 259—272.
7. Konopleva N. P., Popov V. N. Gauge Fields. N. Y., 1981.
8. Nahm W. Quantum Field Theories in One and Two Dimensions Duke // Math. J. 1987. Vol. 54, iss. 2. P. 579—613.
9. Brüning J., Grushin V. V., Dobrokhotov S. Yu., Tudorovskii T. Ya. Generalized Foldy-Wouthuysen Transformation and Pseudodifferential Operators // Theor. Math. Phys. 2011. Vol. 167, iss. 2. P. 171—192.
10. Leble S. Quantum Corrections to Static Solutions of Nahm Equation and Sin-Gordon Models via Generalized Zeta-Function // Theor. Math. Phys. 2009. Vol. 160, iss. 1. P. 976—985.
11. Boozer A. D. Classical Yang-Mills theory // Am. J. Phys. 2011. Vol. 79, iss. 9. P. 925—931.
12. Leble S. Quantum Corrections to Finite-Gap Solutions for Yang-Mills-Nahm Equations via Zeta-Function Technique // Mathematics and Physics of Solitons and Integrable Systems: Conference in honor of Vladimir B. Matveev's 65th Birthday. arXiv:1104.3848v1 [math-ph].
13. Faddeev L. D. Mass in Quantum Yang-Mills Theory (Comment on a Clay Millenium Problem). arXiv:0911.1013v1 [math-ph].
14. Leble S., Perelomova A. The Dynamical Projectors Method: Hydro and Electrodynamics. CRC Presss, 2018.
15. Drach J. Sur l'integration par quadrature de léquation // Comptes Rendus Acad. Sci. 1919. Vol. 168, iss. 7. P. 337—340.
16. Kwiatkowski G., Leble S. Quantum Corrections to Quasi-Periodic Solution of Sine-Gordon Model and Periodic Solution of Phi-4 Model // J. Phys.: Conference Series. 2014. Vol. 482. 012023.
17. Maslov V. P. Stationary-Phase Method for Feynman`s Continual Integral // Theor. Math. Phys. 1970. Vol. 2, iss. 1. P. 30—35.
18. Fock V. A. Proper Time in Classical and Quantum // Phys. Zeit. d. Sowjetunion. 1937. Vol. 12. P. 404—425.
19. Its A. R., Matveev V. B. Schrödinger Operators with the Finite-Band Spectrum and the N-soliton Solutions of the Korteweg — de Vries Equation // Teor. Math. Phys. 1975. Vol. 23. P. 51—68.
20. Leble S., Terent'ev I. Model of Elementary Particles Theory in 6-Dimensional Space with Curvature // Theor. Math. Phys. 1973. Vol. 16. P. 291—302.