Вестник БФУ им. И. Канта

2016 Выпуск №2

Назад к списку Скачать статью

Задание аффинной связности 1-го порядка векторнозначными формами 2-го порядка

Страницы / Pages
25-35

Аннотация

Аффинная связность задается векторами 2-го порядка, названными горизонтальными. Для аффинной связности 1-го порядка введены вертикальная и горизонтальная формы 2-го порядка. Доказано, что симметрическая аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет вертикальный линейный оператор (вертикальную вертикальнозначную форму 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка) из касательного пространства 2-го порядка в касательное пространство 1-го порядка к многообразию. Показано, что аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет линейный оператор из кокасательного пространства 1-го порядка (пространства форм степени 1) в кокасательное пространство 2-го порядка. Доказано, что аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет горизонтальный линейный оператор (горизонтальную горизонтальнозначную форму 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка) в касательном расслоении 2-го порядка. Показано, что второй (обычный) дифференциал точки многообразия можно представить в виде суммы вертикального и горизонтального проекторов.

Abstract

Affine connection is given by 2nd order vectors called horizontal. Vertical and horizontal forms of 2nd order are entered for 1st order affine connection. It is proved that symmetric affine connection in the bundle of tangent linear frames defines vertical linear operator (a vertical vertical-valued form of 2nd order for 1st order affine connection) from 2nd order tangent space into 1st order tangent space to a manifold. It is shown that affine connection in bundle of tangent lin-ear frames defines linear operator from 1st order cotangent space (space of forms of degree 1) in cotangent space of 2nd order. It is proved that affine connection in bundle of tangent linear frames defines horizontal linear operator (2nd order hor-izontal horizontal-valued form of 1st order affine connection) in 2nd order tan-gent bundle. It is shown that the second usual differential of a point of a mani-fold it is possible to present as sum of vertical and horizontal projectors.

Список литературы

1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифферен-циально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. М., 1979. Т. 9.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших поряд-ков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. // ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
6. Полякова К. В. Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур // Дифференциальная геометрия многообразий фи-гур. Калининград, 2014. Вып. 45. C. 92—104.
7. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV: Дифференциальная геометрия. М., 1988.
8. Сарданашвили Г. А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. М., 1996. Т. 1.
9. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких много-образий. Калининград, 1998.
10. Catuogno P. A geometric Itô formula. Matemática Contemporânea. 2005. Vol. 33. P. 85–99.
11. Emery M. An Invitation to Second-Order Stochastic Differential Geometry. 42 pa-ges. 2005. <hal-00145073>
12. Kolář I., Michor P. W., Slovák J. Natural operations in differential geometry // Berlin, Springer-Ferlag, 1993.