Decay of a weak gap and wave propagation in a nonlocal environment with a source
- Pages
- 84-96
Abstract
A spatially non-local fourth-order wave equation with a source is considered. The results are set out in terms of the heat transfer theory. The temperature derivative of the source function is positive (a technical source) or negative (a source in biological tissue). The wave velocity (subsonic, sonic, supersonic) is determined with respect to the velocity of propagating heat perturbations. We give examples of the exact solving the problem of disintegration of a weak discontinuity in the temperature field. This problem is set as follows. In the initial state the continuous thermal field contains a point of a weak discontinuity; in that point the first coordinate derivative undergoes a first-order rupture. Further the weak discontinuity disintegrates into two waves which propagate in opposite directions. Initiation of such waves is discussed in detail. A technical source: two subsonic, sonic or supersonic waves; the non-uniform space in front of the waves is spatially periodic; in a particular case spatial non-uniformity is localized on both sides of a weak discontinuity. A source in biological tissue: the thermal field between the waves is a superposition of two running waves for which the product of velocity moduli is equal to the square of propagating thermal perturbations velocity. The non-uniform space in front of the waves is spatially periodic and is displayed as spatial coordinate beating. An example is built for disintegration of a weak discontinuity when time evolution in the perturbed region leads to forming a standing wave.
Reference
1. Никитенко Н. И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких средах // Инженерно-физический журнал. 2000. Т. 73, № 4. С. 851—859.
2. Глазунов Ю. Т. Вариационный принцип явлений взаимосвязанного тепло- и массопереноса, учитывающий конечную скорость распространения возмущений // Инженерно-физический журнал. 1981. Т. 40, № 1. С. 134—138.
3. Яворский Н. И. Вариационный принцип для вязкой теплопроводной жидкости с релаксацией // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 3. С. 3—10.
4. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. Extended Irreversible Thermodynamics. Berlin ; Heidelberg, 2001.
5. Алфимов Г. А. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа «кинк» в пределе слабой нелокальности // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 585—602.
6. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М., 2007.
7. Мамчуев М. О. Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Естественнонаучная сер. 2014. № 7. С. 45—59.
8. Керефов М. А., Геккиева С. Х. Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2016. № 4. С. 76—86.
9. Дрегля А. И., Сидоров Н. А. Идентификация динамики внешней силы при моделировании колебаний // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2017. Т. 19. С. 105—112.
10. Pennes H. H. Analysis of tissue and arterial temperature in the resting human forearm // Journal of Appl. Phisiol. 1948. Vol. 1. P. 93—122.
11. Tung M. M., Trujillo М., Lopez Molina J. A. et al. Modelling the heating of biological tissue based on the hyperbolic heat transfer equation // Mathematical and Computer Modelling. 2009. Vol. 50. P. 665—672.
12. Ching-yu Y. Boundary estimation of hyperbolic bio-heat conduction // Int. J. Heat Mass Transfer. 2011. Vol. 54. 2506—2513.
13. Lin S.-Y., Chou T.-M. Numerical analysis of the Pennes bioheat transfer equation on skin surface // Third Int. Conf. of Robot, Vision and Signal Processing. 2015. P. 71—74.
14. Mochnacki B., Ciesielski M., Piasecka-Belhayat A. Numerical solution of the bio-heat transfer equation with uncertain parameters using the sensitivity analysis method // Defect and Diffusion Forum. 2017. Vol. 379. P. 39—47.
15. Шабловский О. Н. Колебания, резонансы и волны в нелокальной среде с источниками // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 4. С. 5—14.