The first Stokes method in the problem of waves on a liquid surface of finite depth
- Pages
- 64-75
Abstract
An approximate solution of the problem of the structure and characteristics of a stationary nonlinear periodic wave on the surface of a liquid of finite depth has been obtained. The solution is as follows: first, the kinematic and dynamic conditions are simplified. The Bernoulli integral contributes to the simplification of the dynamic condition. An integral operator of convolution type is introduced. Four functions of one variable are determined, the main of which is the wave level. One linear and three quadratic equations are obtained. The zero mean conditions for the level and the relative function of the current, as well as the condition of orthogonally of the wave level and the fundamental harmonic, are determined and validated. Like Stokes did, we seek unknown functions and parameters as expansions in a dimensionless wave number. The nonlinear dispersion relation has been obtained. The decision analysis has been completed. The cases of short and long waves have been considered.
Reference
1. Scott Russel J. Report on waves // Reports of the Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Science. L., 1845. P. 311—390.
2. Scott Russel J. The Wave of Translation. L., 1885.
3. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Cambr. Trans. 1847. Vol. 8. P. 443—473.
4. Stokes G. G. Math. Phys. Papers. 1880.
5. Shwartz B. Journal of Fluid Mechanics. 1974.
6. Бабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конечной амплитуды // Доклады АН СССР. 1987. Т. 29, № 5. С. 1033—1037.
7. Karabut E. A. An approximation for the highest gravity waves on water of finite depth // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 372. P. 45—70.
8. Карабут Е. А. О суммировании ряда Вайтинга в задаче об уединенной волне // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 1. С. 44—54.
9. Карабут Е. А. Высшие приближения теории кноидальных волн // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41, № 1. С. 92—104.
10. Zaitsev A. A., Rudenko A. I. Stationary waves on the shear stream // Тезисы докладов Междунар. конф. по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К. Г. Якоби. Калининград, 2005. С. 267—268.
11. Зайцев А. А., Руденко А. И. К теории стационарных волн на горизонтальном течении с линейным профилем скорости // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, № 3. С. 43—49.
12. Руденко А. И. Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости : автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Калининград, 2007.
13. Boussinesq J. Theorie des ondes et des remous qei se propagent // Jour. Math. Pures Appl. 1872. Vol. 17, № 2. P. 55—108.
14. Korteweg D. J., Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. Vol. 39. P. 422—443.
15. Некрасов А. И. О волнах установившегося вида // Известия Иваново-Вознесенского политехнического института. 1921. № 3. С. 52—65.
16. Levi-Civita T. Determination rigoutruse des ondes irrotationeless d′ampleur finite // Mathematical Annales. 1925. Vol. 93. P. 264—313.
17. Красовский Ю. П. Теория установившихся волн конечной амплитуды // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1. С. 836—855.
18. Тер-Крикоров А. М. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 4. С. 622—636.
19. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1984.
20. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М., 1988.
21. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории нелинейных поверхностных и внутренних волн. Новосибирск, 1985.