IKBFU's Vestnik

2018 Issue №01

Back to the list Download an article

Two-dimensional supersymmetric quantum mechanics and the Moutard transformations



This is a treatise on a two-dimensional supersymmetric hamiltonian H whose components consists of two scalar (h0, h1) and one matrix-valued hml  quantum-mechanical Hamiltonians with constant terms added to the mix. In particular, the article discusses the ways to utilize a known solution of the spectral problem for operator h0 in the multi-dimensional generalization of the factorization method in order to pro-duce such  hml and h1 that their ground-state eigenvalues will be identical to each other but lower than that of h0. Then we propose a new scheme designed for the task of construction of supersymmetric Hamiltonian H with a degenerate eigenvalue E = 0 and provide the corresponding (0 + 1) super-multiplet with a broken U1 symmetry. Next, we describe the algorithm for production of the algebra of an extended supersymmetry. We determine the important connection that relates the Moutard formula with a problem of «insertion» of a new ground-state eigenvalue to the spectrum of the matrix-valued component of H. And, finally, we discuss the Moutard transformations and their viability for the higher dimensional cases when d > 2.


1. Darboux G. Theоrie generale des surfaces. N. Y., 1972.
2. Infeld L., Hull T. E. The Factorization Method // Rev. Mod. Phys. Vol. 23. 1951. Р. 21.
3. Beckers J., Debergh N. Parastatistics and supersymmetry in quantum mechanics // Nucl. Phys. 1990. Vol. 340. P. 767—776.
4. Андрианов А. А., Борисов Н. В., Иоффе М. В. Метод факторизации и преобразование Дарбу для многомерных гамильтонианов // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 61, № 2. С. 183—198.
5. Березовой В. П., Пашнев А. И. Суперсимметричная квантовая механика и перестройка спектров гамильтонианов // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 70, № 1. С. 146—153.
6. Адлер В. Э. О модификации метода Крама // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 101, № 3. С. 323—330.
7. Андрианов А. А., Борисов Н. В., Иоффе М. В., Эйдес М. И. Суперсимметричная механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 61, № 1. С. 17—28.
8. Андрианов А. А., Иоффе М. В., Нишнианидзе Д. Н. Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т. 104, № 3. С. 463—478.
9. Верещагин М. Д., Верещагин С. Д., Юров А. В. Трехмерное преобразование Мутара // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 5. С. 111—125.
10. Andrianov A. A., Ioffe M. V. Nonlinear Supersymmetric Quantum Mechanics: concepts and realizations // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2012. Vol. 45, № 50.
11. Березовой В. П., Пашнев А. И. Одномерная расширенная суперсимметричная квантовая механика // Теоретическая и математическая физика. 1989. Т. 78, № 2. С. 289—296.
12. Юров А. В. Преобразование Дарбу в квантовой механике : учеб. пособие. Калининград, 1998.