A transcendental analysis of mathematics: The abstract nature of mathematical knowledge
- DOI
- 10.5922/0207-6918-2015-2-1
- Pages
- 16-31
Abstract
Kant’s transcendental philosophy (transcendentalism) focuses on both the human method of cognition in general [CPR, B25] and certain types of cognition aimed at justifying their objective significance. This article aims to explicate Kant’s understanding (resp. justification) of the abstract nature of mathematical knowledge (cognition) as the “construction of concepts in intuition” (see: “to construct a concept means to exhibit a priori the intuition corresponding to it”; [CPR, A713/В 741], which is “thoroughly grounded on definitions, axioms, and demonstrations” [CPR, A726/В 754]. Mathematical objects, unlike specific ‘physical’ objects, are of abstract nature (a-obj¬ects vs. the-objects) and are introduced (defined) within Hume’s principle of abstraction. Based on his doctrine of schematism, Kant develops an original theory of abstraction: Kant’s scheme serve as a means to construct mathematical objects, as an “action of pure thought" [CPR, B81]. The article investigates the ontological status of mathematical objects/abstractions and describes three possible ontologies — the understanding of mathematical objects/abstractions as: 1 complete objects (the ontology of things; "full-blooded Platonism"); 2) a substantivized set of properties (ontology of properties; E. Zalta); 3) relations (the ontology of relations; category theory, structuralism).
Reference
1. Аристотель. О душе // Аристотель. Соч. : в 4 т. М., 1975. Т. 1.
2. Гуссерль Э. О варьировании // Воображение в свете философских рефлексий. М., 2008.
3. Кант И. Критика чистого разума // Кант И. Собр. соч. : в 8 т. М., 1994. Т. 3.
4. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике… // Там же. Т. 4.
5. Кант И. Метафизические начала естествознания // Там же.
6. Кант И. Избранные письма // Там же. Т. 8.
7. Кант И. Семь небольших заметок (1788—1791 гг.) // Кантовский сборник. 2012. № 3 (41).
8. Катречко С. Л. К вопросу об априорности математического знания // Математика и опыт. М., 2003. С. 545—574.
9. Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход // Модели рассуждений — 1: Логика и аргументация. Калининград, 2007. С. 63—90.
10. Катречко С. Л. Трансцендентальная философия математики // Вестник Московского университета. Сер. 7: Философия. 2008. № 2. С. 88—106.
11. Катречко С. Л. О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе // Число : сб. ст. М., 2009. С. 116—133.
12. Катречко С. Л. Как возможна метафизика: на пути к научной [трансцендентальной] метафизике // Вопросы философии. 2012. № 3.
13. Катречко С. Л. Трансцендентальная теория опыта и современная философия науки // Кантовский сборник. 2012. № 4 (42). С. 22—35.
14. Катречко С. Л. Трансцендентализм Канта как особый тип философского исследования // Философия. Язык. Культура. СПб., 2013а. Вып. 4. С. 73—89.
15. Катречко С. Л. Платоновский четырехчастный отрезок (Линия): Платон и Кант о природе (специфике) математического знания // Вестник РХГА. 2013б. Т. 14, вып. 3. С. 172—177.
16. Катречко С. Л. Трансцендентализм Канта как трансцендентальная парадигма философствования // Кантовский сборник. 2014a. № 2 (48). С. 10—25.
17. Катречко С. Л. О понимании термина «трансцендентальный» в кантовской философии // Философия. Язык. Культура. СПб., 2014б. Вып. 5. С. 22—34.
18. Катречко С. Л. Трансцендентальный анализ математической деятельности: абстрактные (математические) объекты, конструкции и доказательства // Доказательство: очевидность, достоверность и убедительность в математике. М., 2014в. С. 86—120.
19. Катречко С. Л. Математика как «работа» с абстрактными объектами: онтолого-трансцендентальный статус математических абстракций // Математика и реальность. Труды Московского семинара по философии математики. М., 2014г. С. 421—452.
20. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М., 1967.
21. Новоселов М. М. Логика абстракций (методол. анализ). М., 2000.
22. Платон. Государство // Платон. Собр. соч. : в 4 т. М., 1993. Т. 3. С. 293.
23. Фреге Г. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование понятия числа). Томск, 2000.
24. Хинтикка Я. Поверхностная информация и глубинная информация // Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 182—228.
25. Юм Д. Трактат о человеческой природе // Юм Д. Соч. : в 2 т. М., 1965. Т. 1. С. 128.
26. Benacerraf P. What Numbers Could not Be // The Philosophical Review. 1965. Vol. 74, № 1.
27. Beth E. Mathematical Thought. Dordrecht, 1965.
28. Burgess J., Rosen G. Subject with No Object. Oxford, 1999.
29. Field H. Science without Numbers: a Defense of Nominalism. Oxford, 1980.
30. Field H. Realism, Mathematics and Modality. Oxford, 1989.
31. Frege G. Uber Sinn und Bedeutung // Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik. Leipzig, 1892.
32. Hanna R. Kant and the Foundations of Analytic Philosophy. Oxford, 2001.
33. Hanna R. Kant in the XX century. URL: http://spot.colorado.edu/~rhanna/kant_ in_the_twentieth_century_proofs_dec07.pdf (дата обращения: 01.03.2015).
34. Heck R. The Julius Caesar Objection. URL: http://rgheck.frege.org/pdf/published/ JuliusCaesarObjection.pdf (дата обращения: 01.03.2015).
35. Hellman G. Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpre¬ta¬tion. Clarendon Press, 1989.
36. Hellman G. Structuralism without Structures // Philosophia Mathematica. 4 (2). 1996. P. 100—123.
37. Katrechko S. Ding-Ontology of Aristotle vs. Sachverhalt-Ontology of Wittgenstein // Papers of the 31st International Wittgenstein Symposium. Kirchberg am Wessel, 2008. Vol. 16. P. 169—172.
38. Katrechko S. Transcendentalism as a Special Type of Philosophizing: Kant’s transcendental Shift, Dasein-Analysis of Heidegger and Sachverhalt—Ontology of Wittgenstein // Papers of the 37th International Wittgenstein Symposium. Kirchberg am Wessel, 2014. Vol. 22. P. 147—149.
39. Linsky В., Zalta E. Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism // Journal of Philosophy. 1995. № 10. P. 525—555.
40. Lorenzen P. Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt, 1974.
41. Mally E. Gegenstandstheoretische Grundlagen der Logik und Logistik. Leipzig, 1912.
42. Rohlf M. Immanuel Kant, 2010. URL: http://plato.stanford.edu/entries/kant/ (дата обращения: 01.03.2015).
43. Rosen G. Аbstract Objects. URL: http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects/ (дата обращения: 01.03.2015).
44. Shabel L. Kant's Philosophy of Mathematics. URL: http://plato.stanford.edu/ entries/kant-mathematics/ (дата обращения: 01.03.2015).
45. Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford, 1997
Reference
[