Текущий выпуск

Линейные и проективные связности над гладким многообразием

DOI

10.5922/0321-4796-2023-54-2-8

Страницы / Pages

78-91

Аннотация

Рассмотрены главные расслоения кореперов 1-го и 2-го порядков, а также фактор-расслоение центропро­ек­тивных (коаффинных) кореперов. В расслоении ли­ней­ных кореперов задана связность с помощью поля объ­ек­та связности. Определены тензоры кручения и кри­виз­ны этой линейной связности. Выделены особые связ­ности: без кручения, без кривизны. Пространство ли­нейной связности, лишенное кручения и кривизны, представляет собой аффинную группу, что послужило основанием для классического названия «аффинная связ­ность».

При специализациях многообразия введены силь­ное и слабое условия проективности, позволяющие вы­делить соответствующие расслоения кореперов. Связ­ности в этих главных расслоениях названы сильной и слабой проективными связностями.

В случае симметрической линейной связности, ко­гда отсутствует кручение, рассмотрен объект классиче­ской проективной связности. Введены формы этой связности и найдены их структурные уравнения. Отсю­да следует, что классическая проективная связность не яв­ляется ни фундаментально-групповой, ни линейной диф­ференциально-геометрической. Доказано, что объ­ект кривизны этой связности образует квазитензор лишь в со­вокупности с объектом связности. Показано, что клас­сическая проективная связность вырождается в отлич­ную от исходной  линейную связность на образе сече­ния некоторого однородного расслоения.

Abstract

The principal bundles of the first order coframes and the second order coframes, as well as factor bundle of centroprojective (coaffine) coframes are considered. In the bundle of linear coframes a connection is given with the help of the field of connection object. The torsion and curvature tensors of this linear connection are determined. Special connections are singled out: torsion-free, curvature-free. The space of a linear connection devoid of torsion and curvature is an affine group, that served as the basis for classical name «affine connection».Under the specializations of a manifold, strong and weak projectivity conditions was introduced, which make it possible to single out the cof­ra­me bundles. The connections in these principal bundles are called strong and weak projective connections. In the case of symmetric linear connection, when the torsion is absent, the object of classic projective connection is considered. Connec­tion forms are introduced and their structure equations are found. Hence it follows that classic projective connection is neither fundamental-group nor linear differential-geometric. It is proved, that the curvature object of this connection forms a quasitensor together with the connection object only. It is shown, that classic projective connection degenerates into diffe­rent from the original linear connection on the image of a section of some homogeneous bundle.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды 3-го Всесоюз. матем. съезда / АН СССР. М., 1958. Т. 3. С. 409—418.

2. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры выс­ших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1966. Т. 1. С. 139—189.

3. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные про­странства // Труды 4-го Всесоюз. матем. съезда. 1961. Т. 2. Л., 1964. С. 226—233.

4. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. 2-е изд. М., 1976.

6. Veblen O. Generalized projective geometry // J. Lond. Math. Soc. 1929. Vol. 4. P. 140—160.

7. Гордеева И. А. Шесть классов несимметрических метрических связностей // ДГМФ. 2007. Вып. 38. С. 33—38.

8. Шевченко Ю. И., Вялова А. В. Метрики пространства с линей­ной связностью, не являющейся полусимметрической // ДГМФ. 2022. Вып. 53. С. 148—160.

9. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. М. ; Л., 1950. Вып. 8. С. 11—72.

10. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмного­об­разия гладких многообразий // ДГМФ. 2015. Вып. 46. С. 168—177.