Текущий выпуск

О группе автоморфизмов алгебры плюральных чисел

DOI

10.5922/0321-4796-2023-54-2-6

Страницы / Pages

63-70

Аннотация

В работе исследуются автоморфизмы алгебр плю­ральных чисел, которые являются обобщением алгебры дуальных чисел. Алгебры плюральных чисел оказались в центре внимания профессора Казанского университе­та А. П. Широкова. Занимаясь геометрией касательных расслоений высших порядков, он установил, что каса­тельные расслоения высших порядков над гладкими многообразиями несут структуру гладкого многообра­зия над алгебрами плюральных чисел. Это позволило ему в 1970-е годы построить теорию лифтов тензорных полей и линейных связностей с гладкого многообразия в его касательные расслоения произвольного порядка.

Изучаются автоморфизмы алгебры плюральных чи­сел. Доказано, что множество всех автоморфизмов ал­гебры плюральных чисел образует группу. Описано строение этой группы. В качестве примеров указаны группы автоморфизмов алгебры плюральных чисел, имеющих небольшую размерность.

Abstract

The algebra of dual numbers was first introduced by V. K. Clifford in 1873. The algebras of plural and dual numbers are analogous to the algebra of complex numbers. Dual numbers form an algebra, but not a field, because only dual numbers with a real part not equal to zero have an inverse element. In this work, automorphisms of algebras of plural numbers, which are a generalization of the algebra of dual numbers, are studied. Algebras of plural numbers were in the center of attention of the professor of Kazan University A. P. Shirokov. Studying the geometry of higher-order tangent bundles, he established that higher-order tangent bundles over smooth manifolds have the structure of a smooth manifold over algebras of plural numbers. This allowed him in the 70s of the twentieth century to construct a theory of lifts of tensor fields and linear connections from a smooth manifold to its tangent bundles of arbitrary order. In this paper, we study automorphisms of the algebra of plural numbers. It is proved that the set of all automorphisms of the algebra of plural numbers forms a group. The structure of this group is described. The groups of automorphisms of the algebra of plural numbers with small dimension are indicated as examples.

Список литературы

1. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань, 1984.

2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М., 2001.

3. Кертис И., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., 1969.

4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 1—3. М., 2000.

5. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962.

6. Никитина Я. В., Султанов А. Я. Расслоение Вейля над тензор­ным произведением двух алгебр дуальных чисел // Изв. вузов. По­волжский регион. Физ.-мат. науки. 2013. Т. 4, № 28. С. 17—28. 

7. Султанов А. Я. О группах автоморфизмов специальных ли­нейных алгебр // Изв. ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. Т. 8, № 22. С. 70—74.

8. Султанова Г. А. О размерностях алгебр Ли автоморфизмов в касательных расслоениях со связностью полного лифта над проек­тивно-евклидовой базой // Дальневост. матем. журн. 2016. Т. 16, № 1. С. 83—95.

9. Султанова Г. А. Об оценке размерностей алгебр Ли инфините­зимальных автоморфизмов касательных расслоений со связностью полного лифта над непроективно-евклидовой базой // ДГМФ. 2016. Вып. 47. С. 146—153.

10. Широков А. П. Замечание о структурах в касательных рассло­ениях // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1973. Т. 5. С. 259—309.