Дифференцирование линейных алгебр с единицей над полем
- DOI
- 10.5922/0321-4796-2023-54-2-5
- Страницы / Pages
- 54-62
Аннотация
Линейные алгебры над заданным полем возникают при изучении различных задач алгебры, анализа и геометрии. Операция дифференцирования, возникшая в математическом анализе, была перенесена в теорию линейных алгебр над полем, а также в теорию колец.
Множество всех дифференцирований линейной алгебры сами образуют линейную алгебру. Эта алгебра называется алгеброй дифференцирований. При этом она допускает структуру алгебры Ли. Если алгебра, дифференцирования которой рассмотрены, является конечномерной, то ее алгебра Ли дифференцирований будет также конечномерной. Поэтому возникает естественная задача определения размерности алгебр Ли дифференцирований рассматриваемой линейной алгебры или оценки сверху размерности алгебры дифференцирований.
Для решения этих задач в работе получена система линейных однородных уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного дифференцирования. Оценка ранга этой системы позволяет получить оценку снизу ранга матрицы рассматриваемой системы. Получена оценка размерности сверху алгебр Ли дифференцирований произвольной конечномерной линейной алгебры, обладающей главной единицей над произвольным полем, характеристика которого отлична от двух. Доказана точность полученной оценки путем построения линейной алгебры, алгебра Ли дифференцирований которой реализует максимальную размерность алгебры дифференцирований данной алгебры.
Abstract
Linear algebras over a given field arise when studying various problems of algebra, analysis and geometry. The operation of differentiation, which originated in mathematical analysis, was transferred to the theory of linear algebras over a field, as well as to the theory of rings. The set of all differentiations of a linear algebra themselves form a linear algebra. This algebra is called the algebra of differentiations. At the same time, this algebra admits the structure of a Lie algebra. If the algebra whose differentiations are considered is finite-dimensional, then its Lie algebra of differentiations will also be finite-dimensional. Therefore, there is a natural problem of determining the dimension of the Lie algebras of the differentiations of the linear algebra under consideration or to obtain an estimate from above of the dimension of the algebra of differentiations. To solve these problems, a system of linear homogeneous equations is obtained, which is satisfied by the components of arbitrary differentiation. Evaluation of the rank of this system allows us to obtain an estimate from below of the rank of the matrix under consideration.
Список литературы
1. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами : учеб. пособие. Казань, 1985.
2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М., 2021.
3. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб., 2005.
4. Мальцев А. И. Линейная алгебра. М., 2010.
5. Моргун М. В. О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности // ДГМФ. 2006. Вып. 37. С. 117—123.
6. Моргун М. В. Об алгебрах Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности специального вида // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. 2009. Вып. 17. С. 18—23.
7. Султанов А. Я., Глебова М. В., Болотникова О. В. Алгебры Ли дифференцирований линейных алгебр над полем // ДГМФ. 2021. Вып. 52. С. 123—136.
8. Султанов А. Я., Глебова М. В. Об алгебре Ли дифференцирований йордановой алгебры билинейной симметрической формы // Итоги науки и техн. Соврем. математика и ее прилож. Темат. обзоры. 2023. Т. 222. С. 94—99.
9. Шурыгин В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй // Успехи математических наук. 1993. Т. 48, № 2 (290). С. 75—106.
10. Yano K. The theory of Lie derivatives and its applications. Amsterdam, 1957.