2023 Выпуск 54(1)

К геометрии субримановых многообразий, оснащенных канонической четверть-симметрической связностью

DOI

10.5922/0321-4796-2023-54-1-7

Страницы / Pages

64-77

Аннотация

В настоящей статье под субримановым многообра­зием контактного типа понимается риманово многооб­разие, оснащенное регулярным распределением кораз­мерности один и ортогональным этому распределению единичным векторным полем, называемым структур­ным векторным полем. На субримановом многообразии контактного типа определяется четверть-симметриче­ская связность, ассоциируемая с эндоморфизмом, со­храняющим распределение субриманова многообразия. До­казывается, что в случае метричности изучаемой связ­ности ассоциируемый с ней эндоморфизм опреде­лен однозначно. Находится строение ассоциируемого эн­доморфизма. В случае, когда структурное векторное поле представляет собой поле инфинитезимальных изо­метрий, четверть-симметрическая связность получа­ет название канонической N-связности. Находится вы­ра­же­ние тензора кривизны канонической N-связности че­рез тензор кривизны Римана. Исследуются свойства тен­зора кривизны Схоутена, обеспечивающие, в част­но­сти, необходимые симметрии тензора кривизны
N-связ­ности для корректного определения ее секцион­ной кривизны. Найдена связь секционной кривизны ка­но­нической N-связности и секционной кривизны связ­но­сти Леви-Чивиты. Находятся необходимые и доста­точ­ные условия для совпадения секционной кривизны N-связности и секционной кривизны связности Леви-Чи­виты.

Abstract

In this article, a sub-Riemannian manifold of contact type is under­stood as a Riemannian manifold equipped with a regular distribution of codimension-one and by a unit structure vector field orthogonal to this distribution. This vector field is called a structural. On a sub-Riemannian manifold of contact type, a quarter-symmetric connection is defined, which is associated with an endomorphism that preserves the distribution of the sub-Riemannian manifold. It is proved that if the connection under study is metric, then the endomorphism associated to it is uniquely de­fined. The structure of the associated endomorphism is found. In the case when the structure vector field is a field of infinitesimal isometries, the quarter-symmetric connection is called the canonical N-connection. An expression is found for the curvature tensor of the canonical N-connection in terms of the Riemann curvature tensor. The properties of the Schouten curvature tensor are investigated, which provide, in particular, the neces­sary symmetries of the curvature tensor of an N-connection for its sec­tional curvature to be well-defined. A relation between the sectional cur­vature of the canonical N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection is found. Necessary and sufficient conditions are found under which the sectional curvature of the N-connection and the sectional curvature of the Levi-Civita connection coincide.

Список литературы

1. Букушева А. В. О геометрии многообразий Кенмоцу с N-связ­но­стью // ДГМФ. 2019. Вып. 50. C. 48—60.

2. Букушева А. В. Неголономные многообразия Кенмоцу, осна­щенные обобщенной связностью Танаки — Вебстера // ДГМФ. 2021. № 52. С. 42—51.

3. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информа­тика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.

4. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с
-связ­ностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 258—263.

5. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти кон­тактных метрических пространств // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, № 3. С. 53—63.

6. Галаев С. В., Гохман А. В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. № 3. С. 28—31.

7. Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П. О секционной кривизне связностей с векторным кручением // Изв. вузов. Матем. 2020. № 6. С. 86—92.

8. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differen­tial Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46. P. 130—146.

9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure App. Math. 1985. Vol. 16, iss. 7. P. 736—740.

10. Biswas S. C., De U. C. Quarter-symmetric metric connection in an SP-Sasakian manifold // Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Series А1. 1997. Vol. 46. P. 49—56.

11. Cartan E. Sur les varieties a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II // Ann. Ec. Norm. 1925. Vol. 42. P. 17—88.

12. Galaev S. V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian mani­folds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31, № 1. P. 35—46.

13. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear con­nections // Tensor. New series. 1975. Vol. 29. P. 249—254.

14. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. Vol. 15. P. 1579—1586.

15. Yano K., Imai T. Quarter-symmetric metric connections and their curvature tensors // Tensor. New series. 1982. Vol. 38. P. 13—18.