2023 Выпуск 54(1)

Псевдотензор деформации связностей коконгруэнции K (n - m)m

DOI

10.5922/0321-4796-2023-54-1-5

Страницы / Pages

39-48

Аннотация

В -мерном проективном пространстве исследуется ко­конгруэнция -мерных плоскостей. Расширенное ком­позиционное оснащение данной коконгруэнции по­ля­ми ()-мерных плоскостей и точками  на m-мер­ных плоскостях позволяет задать связности трех типов в ассоциированном расслоении, причем одна из трех связ­ностей является средней по отношению к двум другим. Рас­смотрена деформация связностей и показа­но, что объ­ект деформации является псевдотензором. Ра­бота вы­полнена методом продолжений и охватов Г. Ф. Лап­те­ва с заданием связностей в главном расслое­нии.

Abstract

The Grassmann manifold is the set of all -dimensional planes of an -dimensional projective space, with dim. One of the submanifolds of the Grassmann manifold is a complex of -planes if the dimension of the complex exceeds the difference . We continue to study the cocongruence of -dimensional planes us­ing the Cartan — Laptev method. In an -dimensional projective space, the cocongruence of -dimensional planes can be given by the following equations . Compositional equipment of a given cocongruence by fields of ()-planes : and points allows one to define connections of three types in the associated bundle, and one of the three connections is average with respect to the other two. The deformation of these connections is considered and it is shown that the object of deformation is a pseudotensor. We introduce the deformation object of the connection of the sec­ond type with respect to the connection of the first type. The deformation of the connection of the third type with respect to the connection of the first type is , and the deformation of the connection of the third type with respect to the connection of the second type is . In the present paper, we use the method of continuations and cover­ages of G. F. Laptev with assignment of connections in the principal bun­dle.

Список литературы

1. Акивис М. А., Розенфельд Б. А. Эли Картан (1869—1951). М., 2014.

2. Белова О. О. Дифференциальная геометрия (-мерных комплексов в n-мерном проективном пространстве // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2023. Т. 220. С. 17—27.

3. Близникас В. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплек­сов прямых // Труды Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 43—111.

4. Борисенко А. А., Николаевский Ю. А. Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий // УМН. 1991. Т. 46, вып. 2 (278). С. 41—83.

5. Гусева О. О. Прямолинейные конгруэнции с вырождающейся в линию фокальной поверхностью // ДГМФ. 1993. Вып. 24. С. 46—48.

6. Гусева О. О. Специальные классы конгруэнций с вырождаю­щейся в линию фокальной поверхностью // ДГМФ. 1994. Вып. 25. С. 37—41.

7. Кругляков Л. З. О некоторых комплексах многомерных плос­костей в проективном пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1982. Т. 16, вып. 3. С. 66—67.

8. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // ДГМФ. 2012. Вып. 43. С. 114—121.

9. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

10. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслое­ния // ДГМФ. 1991. Вып. 22. С. 117—127.

11. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связно­сти в главном расслоении // ДГМФ. 2006. Вып. 37. С. 179—187.

12. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Cartan — Laptev method in the the­ory of multidimensional three-webs // J. Math. Sci. 2011. Vol. 177, № 4. P. 522—540.

13. Belova O. O. Connections in fiberings associated with Grassman manifold and the space of centered planes // J. Math. Sci. 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.

14. Belova O. Generalized affine connections associated with the space of centered planes // Maths. MDPI. 2021. Vol. 9 (7), № 782.

15. Mansouri A.-R. An extension of Cartan’s method of equivalence to immersions: I. Necessary conditions // Differential Geometry and its Applications. 2009. № 27. P. 635—646.

16. Polyakova K. V. Parallel displacements on the surface of a projec­tive space // J. Math. Sci. 2009. Vol. 162, № 5. P. 675—709.

17. Rahula M. The G. F. Laptev method: fundamental objects of mappings // J. Math. Sci. 2011. Vol. 174. P. 675—697.

18. Scholz E. H. Weyl’s and E. Cartan’s proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal, 2010.