2010 №41

В проективном пространстве рассмотрено пространство П центрированных плоскостей. В обобщенном расслоении задана нормальная аффинная связность, ассоциированная с пространством П. Поле объекта этой аффинной связности определяет объекты кручения и кривизны, которые являются тензорами, содержащими по три простейших и по два простых подтензора. Рассмотрен канонический случай нормальной обобщенной аффинной связности.

В проективном пространстве рассмотрено грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. В главном расслоении задана фундаментально-групповая связность. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует пучок связностей 1-го типа.

Выясняются аналитические и геометрические признаки полей плоскостей, параллельных в нормальных связностях S-распределения [1], оснащенного в смысле Нордена — Картана [1—2] и Нордена — Бортолотти [3—5].

Приведено задание нормально s-кооснащенной гиперполосы sНm в репере 1-го порядка R1 и доказана теорема существования гиперполосы sНm. Построены поля плоскостей Нордена — Тимофеева [4] и поля геометрических объектов в дифференциальных окрестностях 2-го и 3-го порядков гиперполосы sНm.

В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) эллиптических параболоидов. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Предложен способ задания ассоциированной с распределением обобщенной проективной связности (проективной связности Лаптева — Остиану) с помощью поля объекта связности, содержащего квазитензор связности. Доказано, что объект кривизны-кручения этой связности образует тензор, включающий тензор линейной кривизны-кручения с подтензором кручения проективной связности, который содержит тензор аффинного кручения. Показано, что полувырожденная обобщенная проективная связность без аффинного кручения характеризует полуголономность распределения. Вырождение проективной связности Лаптева — Остиану лишает ее проективного кручения и превращает в центропроективную связность. В каноническом случае проективной связности Лаптева — Остиану задание поля квазитензора связности эквивалентно нормализации 1-го рода распределения.

На точечно-плоскостной поверхности Sh+r в n-мерном проективном пространстве в предположении существования двух относительных инвариантов строятся охваты компонент оснащающего квазитензора. Дано определение поднормализации точечно-плоскостной поверхности. Поднормализация порождается композиционным оснащением, и наоборот: доказывается, что поднормализация порождает композиционное оснащение.

Построено оснащение в смысле Э. Бортолотти оснащающего М-подрасслоения Λ(П)-распределения. Найден охват, при котором оснащение Бортолотти гиперполосного распределения Λ(М) равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа H(M) .

Получено пространство конформной связности m,m C без кручения, индуцируемое касательным оснащением полем m -сфер [ ]  P многомерной поверхности m V конформного пространства n C .

В работе рассматриваются некоторые вопросы нормализованного n-мерного проективно-метрического пространства Kn . Найдены приложения этой геометрии к изучению некоторых классов плоских сетей n  Kn .

В многомерном аффинном пространстве рассматриваются подклассы дифференцируемого отображения, порожденного комплексами центральных невырожденных гиперквадрик. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства конуса главных прямых, характеристических направлений и индикатрис исследуемых отображений.

В работе рассматривается комплекс m(nm1) K m-мерных центрированных плоскостей в проективном пространстве n P . Показано, что его фундаментальный объект 1-го порядка состоит из двух псевдотензоров. На рассматриваемом комплексе способом Лумисте заданы: 1) обобщенная аффинная связность, 2) нормальная линейная связность, 3) обобщенная билинейная связность.

Показано, что ковариантные дифференциалы символов Кронекера I , i , J j      I, J ,K 1,n; i, j, k 1,m;  , ,  m 1,n — тождественные нули, а ковариантное дифференцирование безындексных нулей, рассматриваемых как объекты , i i     , не имеет смысла. Использование такого дифференцирования приводит к некорректным результатам.

Проанализирована основополагающая роль относительно инвариантных систем пфаффовых форм при исследовании в неканонических реперах многообразий фигур в однородных и обобщенных пространствах. Рассмотрены примеры, показывающие, что игнорирование требования относительной инвариантности приводит к принципиальным ошибкам, порождающим теории «на пустом множестве».

Описано действие полной линейной группы на расслоении дважды ковариантных тензоров. Доказаны некоторые тождества, которым удовлетворяют операторы действия группы.

Показано, что максимальная размерность алгебры Ли абелевой группы преобразований с (n-1)-мерными орбитами, оставляющей инвариантной нелинейную связность, равна 2n–2.

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Произведено внутреннее композиционное оснащение этого распределения. Доказано, что это оснащение индуцирует в главном расслоении внутренние кривизны 1-го и 2-го типов.

Рассмотрено обобщение внешнего дифференциала и приведены некоторые его свойства.

Дано задание гиперполосы рНm в репере 1-го порядка, и доказана теорема существования. Построен двойственный образ гиперполосы рНm.

В настоящей статье мы возвращаемся к работе [1] одного из авторов для более подробного рассмотрения предложенной там классификации уравнений Эйнштейна.

Изучаются некоторые вопросы геометрии двух двойственных эквиаффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство Kn, n>2; при этом нормализация определена внутренним образом в третьей дифференциальной окрестности.

Показано, что некорректное применение дифференциала к обобщенным символам Кронекера приводит к принципиальным ошибкам.

В евклидовом пространстве E4 рассматриваются две гладкие 2-поверхности M,M и диффеоморфизм f : M  M . Исследуется случай, когда касательные 2-плоскости в соответствующих точках pM, f( p)M ортогональны.