Кант и новая математика сто лет спустя
АннотацияКритика Кассирером философии математики Рассела и неокантианская философия науки и математики в целом приобретают особую актуальность в контексте современной математики и математической физики. То обстоятельство, что современная стандартная аксиоматическая архитектура математических теорий не учитывает предметного характера математического знания, на которое вслед за Кантом указывает Кассирер, затрудняет использование новых математических знаний в естественных науках и технике. В частности, в этом может состоять одна из причин того, что физическая теория струн в ее современном виде оказывается принципиально недоступной для опытной проверки, поскольку ее можно согласовать практически с любыми возможными результатами наблюдений и экспериментов. Однако есть основания считать, что некоторые новейшие подходы в основаниях математики, включая теорию категорий, теорию топосов и «унивалентные основания», могут позволить исправить этот недостаток в обозримом будущем. Проблема использования в естественных науках и в технике новых математических знаний показывает, что кантианский подход в философии математики остается по крайней мере частично релевантным современному состоянию этой науки.
Cassirer’s critique of Russell’s philosophy of mathematics and the Neo-Kantian philosophy of science and mathematics as a whole is of special relevance in the context of modern mathematics and mathematical physics. The fact that the modern standard axiomatic architecture of mathematical theories does not take into account the object-based character of mathematical knowledge, which was stressed after Kant by Cassirer, complicates the application of new mathematical theories in natural sciences and technology. In particular, this can explain why modern physical string theory is empirically unverifiable; it can be adjusted to accommodate a wide range of possible outcomes of observations and experiments. At the same time, there are reasons to believe that certain recent ap-proaches in foundations of mathematics such as category theory, topos theory, and Univalent Foundations may help to improve the situation in the near future. The problem of applicability of new mathematical knowledge in science and technology shows that the Kantian approach in phi-losophy of mathematics is at least partly relevant to today’s mathematics.